圆外切梯形

圆外切梯形

在欧几里得几何中，圆外切梯形（Template:Lang-en，也称为切线梯形）是指存在内切圆的梯形，或者说有一对边平行的圆外切四边形。存在圆外切等腰梯形和圆外切直角梯形等子类型。菱形、正方形也可以看成是是特殊的圆外切梯形。

皮托定理：
$\begin{array}{cc}& |AB|+|CD|\\ =& (a+b)+(c+d)\\ =& (b+c)+(a+d)\\ =& |BC|+|DA|\end{array}$

周长

根据皮托定理：圆外切四边形对边和相等，可得到圆外切梯形的两腰长和与两底长和相等，则周长 Template:Mvar 为

$P=2(a+b)=2(c+d)$

其中Template:Mvar分别为梯形的上下底长，Template:Mvar为两腰长。

另外，半周长为$s=a+b=c+d$，中位线为$m=(a+b)/2=(c+d)/2$。

面积

将上述由皮托定理得出的半周长$s=a+b=c+d$代入梯形的半周长面积公式$S=\frac{a+b}{|b-a|}\sqrt{(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}$，得到圆外切梯形的面积S为：

$S=\frac{a+b}{|b-a|}\sqrt{ab(a-c)(c-b)}$

其中a、b为两底长，c为任意一腰长。

由于圆外切梯形的高与内切圆直径相等，则由中位线面积公式可得：

$S=mh=mD=2mr=(a+b)r=(c+d)r$

此外，设四条不同点出发的切线长为Template:Mvar，则面积为Template:Rp：

$S=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h)=s\sqrt[4]{efgh}$

内切圆半径

由四边形内切圆半径公式$r=\frac{S}{s}$，和上述两个面积公式得到：

$r=\frac{\sqrt{ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}$

$r=\sqrt[4]{efgh}$

更一般的，若Template:Mvar中，Template:Mvar、Template:Mvar分别是同一腰上的切线长，则根据梯形高与腰构成的直角三角形的勾股定理$(e+h{)}^2-(e-h{)}^2=4r^2=(f+g{)}^2-(f-g{)}^2$得到：

$r=\sqrt{eh}=\sqrt{fg}$

由此式能得到上述四切线长有关的半径公式和面积公式。

圆外切直角梯形

底角为直角的圆外切梯形

圆外切直角梯形（Template:Lang-en）是指底角为直角的圆外切梯形，设其上下底长分别为Template:Mvar，则由皮托定理得出斜腰长$c=a+b-h=a+b-2r$，由斜腰三角形勾股定理$(a+b-2r{)}^2=(2r{)}^2+(b-a{)}^2$可得到内切圆半径为：

$r=\frac{ab}{a+b}$

内切圆的直径与梯形的高相等，为上下底的调和平均数，暨$D=h=\frac{2ab}{a+b}$

将上式代入梯形的面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得出面积为两底长之积：

$S=ab$

同时，将上式代入斜腰三角形勾股定理$c^2=(2r{)}^2+(b-a{)}^2$，可得到$c^2=\frac{(a^2+b^2{)}^2}{(a+b{)}^2}$。

圆外切等腰梯形

两腰相等的圆外切梯形一定是双心四边形

圆外切等腰梯形（Template:Lang-en）是指两腰相等的圆外切梯形，由于等腰梯形是一种圆内接四边形，因此圆外切等腰梯形同时拥有内切圆和外接圓，暨圆外切等腰梯形属于一类双心四边形，因此也称为双心梯形（Template:Lang-en）。

设两底长为Template:Mvar，由皮托定理得出腰长为上下底的算术平均数，暨$c=(a+b)/2$，通过勾股定理$((a+b)/2{)}^2=(2r{)}^2+((a-b)/2{)}^2$可得到内切圆半径为：

$r=\frac{1}{2}\sqrt{ab}$

内切圆的直径与梯形的高相等，为上下底的几何平均数，暨$D=h=\sqrt{ab}$

因此，圆外切等腰梯形也可以作为均值不等式中，算术平均数大于几何平均数的几何解释。这一类问题也是日本算額中的常见问题。

将半径代入圆外切四边形面积公式$r=\frac{S}{s}$，可以得到圆外切等腰梯形的面积为：

$S=\frac{1}{2}\sqrt{ab}(a+b)$

另外，由均值不等式中，几何平均数大于调和平均数可知，在两底长Template:Mvar相同的情况下，圆外切等腰梯形的半径、高、圆面积、梯形面积都大于圆外切直角梯形。

更一般的，在所有由相同Template:Mvar所构成的圆外切梯形中，圆外切等腰梯形的上述四者是最大的。暨Template:Mvar中，Template:Mvar、Template:Mvar分别是同一腰上的切线长，$e+f=a$，$g+h=b$，$r^2=\sqrt{efgh}\le \frac{ab}{4}$，当且仅当e=f，g=h时取等于号，此时两腰相等。