哈代-李特爾伍德極大函數

數學上，一個局部可積函數的哈代－李特爾伍德(Hardy–Littlewood)極大函數在一點的值，是所有以該點為中心的球上函數的平均值的上確界。

定義

對一個在 $ℝ^{n}$ 上定義的局部可積函數f，可定義其哈代－李特爾伍德極大函數Mf如下

M f (x) = \sup_{r > 0} \frac{1}{m (B (x, r))} \int_{B (x, r)} | f (y) | d m (y)

（Mf(x)可能是 $\infty$ 。）其中m是 $ℝ^{n}$ 上的勒貝格測度。

對任何 $x \in ℝ^{m}$ ，可假設Mf(x) > 0。（否則幾乎處處f=0）

任意取0 < c < Mf(x)。從Mf定義知存在r > 0使得

c_{1} : = \frac{1}{m (B (x, r))} \int_{B (x, r)} | f (y) | d m (y) > c

存在 $δ > 0$ 使得 $(r / (r + δ))^{n} > c / c_{1}$ 。對任何 $x^{'} \in B (x, δ)$ ，有 $B (x, r) \subset B (x^{'}, r + δ)$ 所以

\begin{matrix} M f (x^{'}) \\ \geq \frac{1}{m (B (x^{'}, r + δ))} \int_{B (x^{'}, r + δ)} | f (y) | d m (y) \\ \geq \frac{1}{m (B (x^{'}, r + δ))} \int_{B (x, r)} | f (y) | d m (y) \\ = \frac{1}{m (B (x^{'}, r))} {(\frac{r}{r + δ})}^{n} \int_{B (x, r)} | f (y) | d m (y) \\ = \frac{1}{m (B (x, r))} {(\frac{r}{r + δ})}^{n} \int_{B (x, r)} | f (y) | d m (y) \\ > c_{1} \cdot \frac{c}{c_{1}} = c \end{matrix}

因此Mf是下半連續。

設 $f \in L^{1} (ℝ^{n})$ 為可積函數，對任何常數 $c > 0$ ，有不等式

m ({M f > c}) \leq \frac{3^{n} ‖ f ‖_{L^{1}}}{c}

對每個在集合 ${M f > c}$ 內的點x，都有 $r_{x} > 0$ ，使得

\frac{1}{m (B (x, r_{x}))} \int_{B (x, r_{x})} | f (y) | d m (y) > c

設K為 ${M f > c}$ 內的緊集。開球 $(B (x, r_{x}))_{x \in K}$ 是K的一個開覆蓋。因K緊緻，存在有限子覆蓋 $(B (x_{i}, r_{i}))_{i = 1}^{N}$ 。（ $r_{i} : = r_{x_{i}}$ ）

用維塔利覆蓋引理，這有限子覆蓋中存在子集 $(B (x_{i_{j}}, r_{i_{j}}))_{i_{j}}$ ，當中的開球兩兩不交，而且將這些開球的半徑增至三倍後 $B (x_{i_{j}}, 3 r_{i_{j}})$ 可以覆蓋K。於是

\begin{matrix} m (K) & \leq \sum_{i_{j}} m (B (x_{i_{j}}, 3 r_{i_{j}})) \\ = \sum_{i_{j}} 3^{n} m (B (x_{i_{j}}, r_{i_{j}})) \\ < \sum_{i_{j}} \frac{3^{n}}{c} \int_{B (x_{i_{j}}, r_{i_{j}})} | f (y) | d m (y) \\ \leq \frac{3^{n}}{c} \int_{K} | f (y) | d m (y) \\ \leq \frac{3^{n} ‖ f ‖_{L^{1}}}{c} \end{matrix}

上式第四行的不等式使用了開球兩兩不交性質。從勒貝格測度的內正則性，集合 ${M f > c}$ 的測度等於在其內的所有緊集的測度的上確界，故有

m ({M f > c}) = \sup_{K} m (K) \leq \frac{3^{n} ‖ f ‖_{L^{1}}}{c}

哈代－李特爾伍德極大不等式可以用來證明勒貝格微分定理。

Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.