勒貝格微分定理

數學上，勒貝格微分定理是實分析的一條定理。這條定理大致是說，一個局部可積函數在幾乎每點的值，都是函數在該點為中心的無限小的球上的平均。換言之，該函數的定義域上幾乎處處都是勒貝格點。

定理敘述

設$f\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^{\mathrm{1}}({ℝ}^k)$為实值或复值的局部可積函數，m為${ℝ}^k$的勒貝格測度。那麼${ℝ}^k$中幾乎處處的x都符合

$\underset{r\to 0}{\lim }\frac{1}{m(B(x,r))}\underset{B(x,r)}{\int }|f(y)-f(x)|dm(y)=0$

使上式成立的点称为$f$的勒贝格点。

證明

因為這定理是關於函數的局部性質，不失一般性，可假設函數f定義在有界集合中，故f為可積函數。

定義

$(T_{r}f)(x)=\frac{1}{m(B(x,r))}\underset{B(x,r)}{\int }|f(y)-f(x)|dm(y)$

$(Tf)(x)=\underset{r\to 0}{\mathrm{lim\; sup}}(T_{r}f)(x)$

那麼這定理就是對幾乎處處的x有Tf = 0。只需證對任何y > 0，集合{Tf > y}的測度為零。

對連續函數，這定理顯然成立。連續函數在${\mathrm{L}}^1({ℝ}^k)$中稠密，故此對任意正整數n，有連續函數g使得$\Vert f-g{\Vert }_{{\mathrm{L}}^1}<1/n$。

令$h=f-g$。由於g連續，有Tg = 0。

用三角不等式有

$(T_{r}h)(x)\le \frac{1}{m(B(x,r))}\underset{B(x,r)}{\int }\left|h\right|dm+|h(x)|$

設$Mh=\underset{r>0}{\sup }\frac{1}{m(B(x,r))}\underset{B(x,r)}{\int }\left|h\right|dm$。（Mh為h的哈代－李特爾伍德極大函數。）從上式得

$Th\le Mh+|h|$

因為$T_{r}f\le T_{r}g+T_{r}h=T_{r}h$，所以有

$Tf\le Th\le Mh+|h|$

若Tf > y，則有Mh > y/2或者|h| > y/2。因此$\{Tf>y\}\subset \{Mh>y/2\}\cup \{|h|>y/2\}$

由哈代－李特爾伍德極大不等式得

$m\{Mh>y/2\}\le 3^k(2/y)\Vert h{\Vert }_{{\mathrm{L}}^1}<3^k\cdot 2/(ny)$

由積分的基本性質有

$m\{|h|>y/2\}y/2\le \Vert h{\Vert }_{{\mathrm{L}}^1}$

故得

$m\{|h|>y/2\}\le 2/(ny)$

因此

$\begin{array}{cc}& m\{Tf>y\}\\ & \le m\{Mh>y/2\}+m\{|h|>y/2\}\\ & <2(3^k+1)/(ny)\end{array}$

因為上式對所有正整數n成立，從而知m{Tf > y}=0。定理得證。

參考

• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.