同构基本定理

同构基本定理，或称同态基本定理、同型定理（Template:Lang-en），包含三个定理，在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

历史

同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊数学分析（Mathematische Annalen）发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

群同構基本定理

群论中的同构基本定理形式相对简单，却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

群同構第一定理

給定一個群同態 $f:G\to G^{\prime }$，根據群同態第一基本定理，我們可以把$G$除以$G$的核，使$f$ 變成單射。

直觀來講，把一個群$G$除以$G$的子群$H$相當於把$H$裡的元素看成0(一元素）。把$f$的核除掉後，我們使得$f(x)=0$只在 $x=0$時才會成立，這是$f$的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構，才可以對$G/\mathrm{Ker}f\to G^{\prime }$進行討論。

定理： 給定$G$和$G^{\prime }$兩個群，和$f:G\to G^{\prime }$群同態。則$\mathrm{Ker}f$是一個$G$的正規子群。

證明： 記 $\cdot$ 為$G$和$G^{\prime }$的運算符號，記$e$和$e^{\prime }$他們的單位元，我們可以驗證$\mathrm{Ker}f$ 在共軛運算下封閉，即對於所有$x\in G$、所有$h\in \mathrm{Ker}f$，有$x\cdot h\cdot x^{-1}\in \mathrm{Ker}f$。

我們有$f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})$。由於$h$在$\mathrm{Ker}f$裡面，即$f(h)=e^{\prime }$，我們推論$f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e^{\prime }$。因此，$x\cdot h\cdot x^{-1}$在$\mathrm{Ker}f$裡面，故$\mathrm{Ker}f$是$G$的正規子群。

$\mathrm{Ker}f$是$G$的正規子群的這個性質讓我們可以在商群$G/\mathrm{Ker}f$上定義一個與$G$的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故，群同態$f:G\to G^{\prime }$誘導出群同構$\hat{f}:G/\mathrm{Ker}f\to \mathrm{Im}f$。

我們有以下的定理：

群同構第一定理 給定$G$和$G^{\prime }$兩個群，$f:G\to G^{\prime }$群同態，則$f$誘導出一個從$G/\mathrm{Ker}f$打到$f(G)$的群同構。

證明： 記$H$為$f$的核。我們定義$\hat{f}$為$\hat{f}(xH)=f(x)$.

• 函數$\hat{f}$定義良好，即$\hat{f}(xH)$只依賴於$xH$而與代表$x$的選擇無關。理由是，若$y\in G$是$xH$的一個代表，即若$xH=yH$，則$x{y}^{-1}\in H=\mathrm{Ker}f$，所以$f(x)=f(y)$，從而$\hat{f}(xH)=\hat{f}(yH)$。
• 由商群運算的定義，$\hat{f}$是一個群同態。
• 群同態$\hat{f}$滿射：對於所有$y\in f(G)$，存在$x\in G$使得$f(x)=y$，由此$\hat{f}(xH)=f(x)=y$。
• 群同態$\hat{f}$單射。理由是：考慮$\hat{f}$的核裡的任意元素$xH$，則$e^{\prime }=\hat{f}(xH)=f(x)$，即$x$在$f$的核$H$裡面。又$xH=H$是$G/H$的單位元。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合，以下為示意圖

交換圖

群同構第二定理

群同構第二定理： 給定群 $G$ 、其正規子群 $N$ 、其子群 $H$ ，則 $N\cap H$ 是 $H$ 的正規子群，且我們有群同構如下： $H/(H\cap N)\simeq HN/N$

證明：

• 必須先證明$HN$确实是一个群，以及$N$限定在$HN$ 中亦是一個正規子群，才能討論商群 $HN/N$。

設 $hn$ 和 $h^{\prime }{n}^{\prime }$ 為 $HN$ 中的兩個元素。我們有 $hn{h}^{\prime }{n}^{\prime }=h{h}^{\prime }(h{\text{'}}^{-1}n{h}^{\prime })n^{\prime }$ ，其中 $h{h}^{\prime }\in H$, $h{\text{'}}^{-1}n{h}^{\prime }\in N$ (因為 $N$ 在 $G$ 中正規) 且 $n^{\prime }\in N$，故 $hn{h}^{\prime }{n}^{\prime }$ 在 $HN$ 中，其證明了 $HN$ 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外，我們有 $N\subset HN\subset G$ 的包含關係，並且 $N$ 在 $G$ 中正規，所以也在 $HN$ 中正規。

• 為了建構群同構，我們將使用群同構第一定理。

取 $j:H\hookrightarrow HN$單射群同態，定義為 $j(h)=h$ ， 取標準滿射 $\sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N$ (值域是個群，因為 $N$ 在 $G$ 中正規)。藉由複合兩個群同態，我們建構出一個新的群同態 $f=\sigma \circ j:H\to HN/N$ 定義為 $f(h)=hN$。

• 群同態 $f$ 是滿射。

理由是，設 $(hn)N\in HN/N$ ，其中 $h\in H$ 且 $n\in N$ 。由於 $n$ 在 $N$ 裡面， $hnN=hN$ ，故$hnN=f(h)$。

• $f$ 的核是 $H\cap N$ 。

理由是， $f(h)=hN$ 是 $HN/N$ 的單位元，即 $N$ 若且唯若， $h$ 在 $N$ 裡面。由於 $h$ 已經在 $H$ 裡面，所以證明這個相當於證明 $h$ 在 $N\cap H$ 裡面。

• 由群同構第一定理知 $N\cap H$ 是 $H$ 的正規子群，且其誘導出的映射 $\hat{f}:H/(N\cap H)\to HN/N$ 是群同構。

如果我們弱化前提，假設 $N$ 的正規化子包含 $H$ (把相等改成包含)這個定理依然正確。

群同構第三定理

群同構第三定理： 給定群 $G$ ， $N$ 和 $M$ 為 $G$ 的正規子群，滿足 $M$ 包含於 $N$ ，則 $N/M$ 是 $G/M$ 的正規子群，且有如下的群同構： $(G/M)/(N/M)\simeq G/N.$

證明： $G/M\to G/N,gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN$ 為滿射，其核為 $N/M$

所以可由群同構第一定理得到 $(G/M)/(N/M)\simeq G/N.$

环和模上的形式

• 将定理中的“群”换为“R-模”，将“正规子群”换为“子模”，就得到对于确定的环R上的模的同构基本定理，（因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立）对于向量空间，同构第一基本定理即是秩-零化度定理。
• 将定理中的“群”换为“环”，“子群”换为“子环”，“正规子群”换为“理想”，“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
• 与子群的乘积HK相对应的定义是子模，子环，子空间的并，用H + K而不再用HK表示。具体的定义是：

$H+K=\{a+b|a\in H,b\in K\}$

推广

在泛代数中，正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

设A是一个代数结构，A的一个同余类是A上的一个等价关系$\mathrm{\Phi }$，可看作是A × A上的子代数。等价类A/$\mathrm{\Phi }$的集合在定义了适合的运算法则后，便可成为与A同类型的代数结构。

第一同构定理

设A和B是两个代数结构，f是A到B的态射，则A等价关系$\mathrm{\Phi }$：a~b当且仅当f(a)=f(b) 是A上的一个同余类，并且A/$\mathrm{\Phi }$同构于f的像（B的子代数）。

第二同构定理

设B是A的子代数，$\mathrm{\Phi }$是A上的同余类。令[B]$\mathrm{\Phi }$是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/$\mathrm{\Phi }$的一个子集；${\mathrm{\Phi }}_B$是$\mathrm{\Phi }$限制在 B × B上的部分。那么[B]$\mathrm{\Phi }$是A/$\mathrm{\Phi }$的子代数结构，${\mathrm{\Phi }}_B$是B上的同余类，并且[B]$\mathrm{\Phi }$同构于B/${\mathrm{\Phi }}_B$。

第三同构定理

设A是一个代数结构，$\mathrm{\Phi }$和$\mathrm{\Psi }$是A上的两个同余关系，$\mathrm{\Psi }$包含于$\mathrm{\Phi }$。则$\mathrm{\Phi }$定义了A/$\mathrm{\Psi }$上的一个同余类$\mathrm{\Theta }$：[a]~[b]当且仅当a与b关于 $\mathrm{\Phi }$同余（[a]表示a所在的$\mathrm{\Psi }$-等价类），并且A/$\mathrm{\Phi }$同构于(A/$\mathrm{\Psi }$)/$\mathrm{\Theta }$。