可除群

Template:Unreferenced 在群論中，一個可除群是一個滿足以下條件的阿貝爾群 $G$：對每個正整數 $n$ 及元素 $g\in G$，存在 $h\in G$ 使得 $nh=g$。等價的表法是：$\mathrm{\forall }n>0,nG=G$。事實上，可除群恰好是 $\mathbb{Z}$ 上的內射模，所以有時也稱之為內射群。

例子

• 有理數 $\mathbb{Q}$ 對加法構成可除群。
• 一般而言，任何 $\mathbb{Q}$-向量空間對加法都構成可除群。
• 可除群的商群仍可除，如 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$。
• p-Prüfer 群 $\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }}):=\{e^{\frac{2i\pi }{p^m}}:m\in {\mathbb{N}}_{\ge 0}\}$ 是可除群
• 在模型論中，任何存在性封閉的群皆可解。

可除群結構定理

令 $G$ 為可解群，則其撓子群 $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)$ 亦可除。由於可解群是 $\mathbb{Z}$-內射模，$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)$ 是直和項，即：

$G=\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)\oplus G/\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G).$

商群 $G/\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)$ 亦可解，而且其中沒有撓元，所以它是 $\mathbb{Q}$-上的向量空間：存在集合 $I$ 使得

$G/\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)={\oplus }_{i\in I}\mathbb{Q}={\mathbb{Q}}^{(I)}.$

撓子群的結構稍複雜，然而可以證明對所有素數 $p$，存在 $I_p$ 使得

$(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G){)}_p={\oplus }_{i\in I_p}\mathbb{Z}[p^{\mathrm{\infty }}]=\mathbb{Z}[p^{\mathrm{\infty }}{]}^{(I_p)},$

其中 $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G){)}_p$ 是 $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)$ 是的 $p$-準素部分。於是：

$G=({\oplus }_P\mathbb{Z}[p^{\mathrm{\infty }}{]}^{(I_p)})\oplus {\mathbb{Q}}^{(I)}.$

推廣

一個環 $R$ 上的左可除模是滿足 $\mathrm{\forall }r\ne 0\in R,rM=M$ 的模 $M$。可除群不外是可除 $\mathbb{Z}$-模。主理想域上的可除模恰好是內射模。