勒奇超越函数

Lerch transcendent

Lerch plot with complex variable

勒奇超越函数是一种特殊函数，推广了赫尔维茨ζ函数和多重对数函数，定义如下

$L(z,s,a)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{(a+n{)}^s}$

特例

赫尔维茨ζ函数。当勒奇函数中的z=1时，化为赫尔维茨ζ函数：

$L(1,s,a)=\zeta (s,a)$

多重对数函数,当勒奇函数中a=1,则化为多重对数函数

$L(z,s,1)=L{i}_s(z)$

勒让德χ函数可以用勒奇超越函数表示,

${\chi }_n(z)=2^{-n}z\mathrm{\Phi }(z^2,n,1/2).$

作为赫尔维茨ζ函数的特例，黎曼ζ函数可以表示为

$\zeta (s)=\mathrm{\Phi }(1,s,1).$

狄利克雷η函数可以表示为

$\eta (s)=\mathrm{\Phi }(-1,s,1).$

积分形式

$L(z,s,a)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{z^x}{(a+x{)}^s}dx$

级数展开

$\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\frac{1}{1-z}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{-z}{1-z}\right)}^n\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{-s}.$

参考文献

• Template:Dlmf.
• Template:Citation. (See § 1.11, "The function Ψ(z,s,v)", p. 27)
• Template:Citation. (see Chapter 9.55)
• Template:Citation. (Includes various basic identities in the introduction.)
• Template:Citation.
• Template:Citation.
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