刘维尔公式

刘维尔公式（Liouville's Formula）是一个关于多重积分和欧拉积分（$\mathrm{\Gamma }$函数）的公式，其形式如下：

$\int ...\underset{x_1,x_2,...,x_n⩾0;x_1+x_2+...+x_n⩽1}{\iint }f(x_1+x_2+...+x_n)x_1^{p_1-1}{x}_2^{p_2-1}...x_n^{p_n-1}\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2...\mathrm{d}{x}_n$

$=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(p_1\right)\mathrm{\Gamma }\left(p_2\right)...\mathrm{\Gamma }\left(p_n\right)}{\mathrm{\Gamma }(p_1+p_2+...+p_n)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(u\right)u^{p_1+p_2+...+p_n-1}\mathrm{d}u$

其中$p_1,p_2,...,p_n>0$，$f\left(u\right)$为连续函数。

证明

用数学归纳法。 当n=1时，公式显然成立。

当n=2时，公式也成立，即

$\underset{x_1,x_2⩾0;x_1+x_2⩽1}{\iint }f(x_1+x_2)x_1^{p_1-1}{x}_2^{p_2-1}\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(p_1\right)\mathrm{\Gamma }\left(p_2\right)}{\mathrm{\Gamma }(p_1+p_2)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(u\right)u^{p_1+p_2-1}\mathrm{d}u$

事实上，令$\mathrm{\Omega }$表示区域：$x_1⩾0,x_2⩾0,x_1+x_2⩽1$，作代换$x_1={\xi }_1,x_1+x_2={\xi }_2$，以及$t=\frac{{\xi }_1}{{\xi }_2}$，则有

$\underset{x_1,x_2⩾0;x_1+x_2⩽1}{\iint }f(x_1+x_2)x_1^{p_1-1}{x}_2^{p_2-1}\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left({\xi }_2\right)\mathrm{d}{\xi }_2\underset{0}{\overset{{\xi }_2}{\int }}{\xi }_1^{p_1-1}{({\xi }_2-\xi 1)}^{p_2-1}\mathrm{d}{\xi }_1$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left({\xi }_2\right)\mathrm{d}{\xi }_2\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{p_1-1}{(1-t)}^{p_2-1}{\xi }_2^{p_1+p_2-1}\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(p_1\right)\mathrm{\Gamma }\left(p_2\right)}{\mathrm{\Gamma }(p_1+p_2)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left({\xi }_2\right){\xi }_2^{p_1+p_2-1}\mathrm{d}{\xi }_2=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(p_1\right)\mathrm{\Gamma }\left(p_2\right)}{\mathrm{\Gamma }(p_1+p_2)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(u\right)u^{p_1+p_2-1}\mathrm{d}u$

设公式对于n-1成立，今证对于n公式也成立。为此，将公式左端写为

$\int ...\underset{x_1,x_2,...,x_{n-1}⩾0;x_1+x_2+...+x_{n-1}⩽1}{\iint }{x}_1^{p_1-1}{x}_2^{p_2-1}...x_{n-1}^{p_{n-1}-1}\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2...\mathrm{d}{x}_{n-1}\underset{0}{\overset{1-(x_1+x_2+...+x_{n-1})}{\int }}f(x_1+x_2+...+x_n)x_n^{p_n-1}\mathrm{d}{x}_n$

令$\psi \left(s\right)=\underset{0}{\overset{1-s}{\int }}f(s+x_n)x_n^{p_n-1}\mathrm{d}{x}_n$

代入上式，并利用公式对Template:Mvar-1成立的假定，得知上式为

$\frac{\mathrm{\Gamma }\left(p_1\right)\mathrm{\Gamma }\left(p_2\right)...\mathrm{\Gamma }\left(p_{n-1}\right)}{\mathrm{\Gamma }(p_1+p_2+...+p_{n-1})}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\psi \left(s\right)s^{p_1+p_2+...+p_{n-1}-1}\mathrm{d}s$

利用上面已证的Template:Mvar=2时的公式，于是即得

$\int ...\underset{x_1,x_2,...,x_n⩾0;x_1+x_2+...+x_n⩽1}{\iint }f(x_1+x_2+...+x_n)x_1^{p_1-1}{x}_2^{p_2-1}...x_n^{p_n-1}\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2...\mathrm{d}{x}_n$

$=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(p_1\right)\mathrm{\Gamma }\left(p_2\right)...\mathrm{\Gamma }\left(p_{n-1}\right)}{\mathrm{\Gamma }(p_1+p_2+...+p_{n-1})}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{d}s\underset{0}{\overset{1-s}{\int }}f(s+x_n)s^{p_1+p_2+...+p_{n-1}-1}{x}_n^{p_n-1}\mathrm{d}{x}_n$

$=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(p_1\right)\mathrm{\Gamma }\left(p_2\right)...\mathrm{\Gamma }\left(p_{n-1}\right)}{\mathrm{\Gamma }(p_1+p_2+...+p_{n-1})}\underset{s,x_n⩾0;s+x_n⩽1}{\iint }f(s+x_n)s^{p_1+p_2+...+p_{n-1}-1}{x}_n^{p_n-1}\mathrm{d}{x}_n$

$=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(p_1\right)\mathrm{\Gamma }\left(p_2\right)...\mathrm{\Gamma }\left(p_{n-1}\right)}{\mathrm{\Gamma }(p_1+p_2+...+p_{n-1})}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(p_1+p_2+...+p_{n-1})\mathrm{\Gamma }\left(p_n\right)}{\mathrm{\Gamma }(p_1+p_2+...+p_n)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(u\right)u^{p_1+p_2+...+p_n-1}\mathrm{d}u$

$=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(p_1\right)\mathrm{\Gamma }\left(p_2\right)...\mathrm{\Gamma }\left(p_n\right)}{\mathrm{\Gamma }(p_1+p_2+...+p_n)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(u\right)u^{p_1+p_2+...+p_n-1}\mathrm{d}u$

证明完毕。