切比雪夫方程

切比雪夫方程（Template:Lang-en）是指二阶线性常微分方程

$(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}+p^{2}y=0$

其中p为一实常数。该方程是以俄罗斯数学家巴夫尼提·切比雪夫的名字命名的。

方程的解为幂级数

$y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

其中系数可通过以下递推关系式计算：

$a_{n+2}=\frac{(n-p)(n+p)}{(n+1)(n+2)}{a}_n.$

级数在$x\in [-1,1]$上收敛（对递推关系式应用比值审敛法可得）。

递推关系的初值a₀与a₁可为任意值，由此可得微分方程不同的特解。通常初值可取为：

a₀ = 1 ; a₁ = 0，可得解

$F(x)=1-\frac{p^2}{2!}{x}^2+\frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}{x}^4-\frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}{x}^6+\cdots$

以及

a₀ = 0 ; a₁ = 1，可得解

$G(x)=x-\frac{(p-1)(p+1)}{3!}{x}^3+\frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}{x}^5-\cdots .$

通解可表示为以上两特解的任意线性组合。

当p为整数时，两个函数中有一个为有限项：p为偶数时F为有限项，反之G为有限项。此时，那个为有限项的函数是一个p次多项式，并与p次切比雪夫多项式成比例：

$T_p(x)=(-1{)}^{p/2}F(x)$ （p为偶数）

$T_p(x)=(-1{)}^{(p-1)/2}pG(x)$ （p为奇数）

参考文献

• Chebyshev equation on PlanetMath Template:Wayback