柯西函數方程

柯西函數方程是以下的函數方程：

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

此方程的解被稱為加性函數。

方程的解

在有理數的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為$f(x)=cx$，其中$c$任意給定的有理數。

在實數中，這個方程仍然有這一類解，然而存在著其他非常複雜的解，函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如：

• 若 f 是連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化，證明 f 只需要在一點連續。
• 若 f 在任一個區間上是單調的
• 若 f 在任一個區間上是有界的

另一方面，如果函數 f 沒有其他限制條件，那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由Template:Link-en使用基的概念證明。

希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。

存在實數$c$使得$f(cx)\ne cf(x)$的解稱為柯西─哈默方程（Template:Lang-en）。在希爾伯特的第三個問題中，往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（Template:Lang-en），其中就用到柯西-哈默方程。

在有理數集下的證明

先設$y=0$，得到：

$f(x+0)=f(x)+f(0)$

$f(0)=0$

再設$y=-x$：

$f(x-x)=f(x)+f(-x)$

$f(-x)=-f(x)$

反覆設$y=x$、$y=2x$、...、$y=x+x+\cdots +x$，可以得到

$f(mx)=mf(x)$...(1)

設$x=\frac{y}{n}$並代入(1)式得到：

$f\left(\frac{y}{n}\right)=\frac{1}{n}f(y)$

或者$f\left(\frac{x}{n}\right)=\frac{1}{n}f(x)$...(2)

對於任意有理數$\frac{m}{n}$，設$y=\frac{m}{n}x$，根據(1)、(2)兩式可知：

$f\left(\frac{m}{n}x\right)=\frac{m}{n}f(x)$

上式又可改寫為

$f\left(\alpha q\right)=qf(\alpha )\mathrm{\forall }q\in \mathbb{Q},\alpha \in ℝ$

令$\alpha =1$就可以得到在有理數下的唯一解。

其他解的性質

以下的證明將顯示（若存在）線性函數以外的解，該解是相當病態的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖形$y=f(x)$在${ℝ}^2$中稠密，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義著手證明。

不失一般性，假設解f滿足$f(q)=q,\mathrm{\forall }q\in \mathbb{Q}$，且能找到實數$\alpha \in ℝ$滿足$f(\alpha )\ne \alpha$，同時設$f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \ne 0$

任意給定一個圓，其內部必能找到一個小圓以點$(x,y)$為圓心，其中滿足$x,y\in \mathbb{Q},x\ne y$。令實數$r>0$為半徑的$\frac{2}{\sqrt[]{5}}$倍，即半徑為$\frac{\sqrt[]{5}r}{2}$。

令$\beta =\frac{y-x}{\delta }$，存在一個有理數$b\ne 0$滿足：

$|\beta -b|<\frac{r}{2\left|\delta \right|}$

類似地，存在一個有理數$a$使得：

$|\alpha -a|<\frac{r}{2\left|b\right|}$

設實數X,Y滿足：

$X=x+b(\alpha -a)$

$Y=f(X)$

從原方程和以上的關係式可以得知：

$Y=f(x+b(\alpha -a))$

$=f(x)+f(b\alpha )-f(ba)$

$=x+bf(\alpha )-bf(a)$

$=(y-\delta \beta )+b(\alpha +\delta )-ba$

$=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)$

由以上關係式可知$|X-x|<\frac{r}{2},|Y-y|<r$

∴$(X,Y)$在指定的小圓內，

於是$(X,Y)$在原本較大的圓內；

即在${ℝ}^2$中任意給定的圓內皆包含$y=f(x)$圖形的一點；

即$y=f(x)$的圖形在${ℝ}^2$中稠密，得證。

另一方法：如f 不是线性函数，存在$U=(u,f(u)),V=(v,f(v))$在${ℝ}^2$独立。任取$X\in {ℝ}^2$, $X=\alpha U+\beta V$, $\alpha$和$\beta$是有理数序列的极限, $X$是f 的图形的聚点。

其他解的形式與證明

與有理數的情形使用相同的方式，可以證明線性解的證明在任意的集合$\alpha \mathbb{Q}$上也成立，其中$\alpha \in ℝ$（表示所有有理數乘上$\alpha$的積的集合，以下亦同）
我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造，而且是以選擇公理為基礎得到的。

在承認選擇公理的前提下，在$\mathbb{Q}$上存在一個$ℝ$的基底，也就是這樣的集合： $A\subset ℝ$，使得對於任何實數$x$，存在唯一的有限集合 $\{a_1,\dots ,a_n\}\subset A$ 以及唯一對應的 $n$ 個有理數$\{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\}$，滿足：

$x=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{a}_i$

設想函數方程在實數集的子集$x\mathbb{Q},x\in A$上成立，即滿足$f(y)=g(x)y$，其中 $y$ 是 $x$ 的有理數倍。 運用前面推導的結論，得到對任意實數滿足方程的函數：

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}g(a_i){\lambda }_i{a}_i$

對於所有$g:A\to ℝ$，以上$f(x)$ 是函數方程的解。其中$f$ 為線性的充要條件是 $g$是常數函數。

外部連結

• 羅格斯大學 Template:Wayback網站上的解法Template:En
• The Hunt for Addi(c)tive Monster Template:WaybackTemplate:En