凱萊–哈密頓定理

Template:NoteTA 在線性代數中，凱萊–哈密頓定理（Template:Lang-en）（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·卢云·哈密顿命名）表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。

明確地說：設 $A$ 為給定的 $n \times n$ 矩陣，並設 $I_{n}$ 為 $n \times n$ 單位矩陣，則 $A$ 的特徵多項式定義為：

p (λ) = \det (λ I_{n} - A)

其中 $\det$ 表行列式函數。凱萊–哈密頓定理斷言：

p (A) = O

凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若尔当标准形時特別有用。

例子

舉例明之，考慮下述方陣：

A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]

其特徵多項式為

p (λ) = | \begin{matrix} λ - 1 & - 2 \\ - 3 & λ - 4 \end{matrix} | = (λ - 1) (λ - 4) - 2 \cdot 3 = λ^{2} - 5 λ - 2

此時可以直接驗證凱萊–哈密頓定理：

A^{2} - 5 A - 2 I_{2} = O

此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係：

A^{2} - 5 A - 2 I_{2} = O

A^{2} = 5 A + 2 I_{2}

例如，為了計算 $A^{4}$ ，可以反覆利用上述關係式：

A^{3} = (5 A + 2 I_{2}) A = 5 A^{2} + 2 A = 5 (5 A + 2 I_{2}) + 2 A = 27 A + 10 I_{2}

A^{4} = A^{3} A = (27 A + 10 I_{2}) A = 27 A^{2} + 10 A = 27 (5 A + 2 I_{2}) + 10 A

A^{4} = 145 A + 54 I_{2}

或是，如果要計算 $A^{n}$ ，也可以假設：

A^{n} = a A + b I

然後，依照前面的特徵多項式 $λ^{2} - 5 λ - 2$ 之兩解 $λ_{1}, λ_{2}$ ，代入後可以得到

λ_{1}^{n} = a λ_{1} + b

λ_{2}^{n} = a λ_{2} + b

然後解方程後求出 $a, b$ ，便可得 $A^{n}$ 。

此外，凱萊–哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

註：一般而言，若 $n \times n$ 矩陣 $A$ 可逆（即： $\det (A) \neq 0$ ），則 $A^{- 1}$ 可以寫成 $A$ 的冪次和：特徵多項式有如下形式

p (λ) = λ^{n} - tr (A) λ^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} \det (A)

將方程式 $p (A) = 0$ 同乘以 $A^{- 1}$ ，便得到

A^{- 1} = \frac{(- 1)^{n - 1}}{\det (A)} (A^{n - 1} - tr (A) A^{n - 2} + \dots)

以下考慮佈於域 $k = ℝ, ℂ$ 上的矩陣。

凱萊–哈密頓定理可以視為線性代數中拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若 $S$ 是 $n \times n$ 矩陣，而 $adj (S)$ 表其伴隨矩陣，則

S adj (S) = \det (S) I_{n}

取 $S = t I_{n} - A$ ，便得到 $(t I_{n} - A) adj (t I_{n} - A) = p_{A} (t) I_{n}$ 。此式對所有 $t$ 皆成立，由於實數或複數域有無窮多元素，上式等式在多項式環 $k [t]$ 內成立。

設 $M : = k^{n}$ ，矩陣 $A$ 賦予 $M$ 一個 $k [t]$ -模結構： $f (t) \cdot m = f (A) m$ 。考慮 $k [t]$ -模 $M [t] : = M \otimes_{k} k [t]$ ，我們有 $k [t]$ -模之間的「求值態射」：

e_{A} : M [t] \to M, M \otimes t^{i} \mapsto A^{i} m

固定 $m \in M$ ，對 $M [t]$ 中的等式

(t I_{n} - A) adj (t I_{n} - A) m = p_{A} (t) m

右側取 $e_{A}$ 後得到 $p_{A} (A) m$ ，左側取 $e_{A}$ 後得到 $(A - A) \cdot (\dots) = 0$ 。明所欲證。

另外一个简单的证明：
令：

B = adj (t I_{n} - A)

由:

S adj (S) = \det (S) I_{n}

得：

(t I_{n} - A) B = \det (t I_{n} - A) I_{n} = p (t) I_{n}

\begin{matrix} p (t) I_{n} & = (t I_{n} - A) B \\ = (t I_{n} - A) \sum_{i = 0}^{n - 1} t^{i} B_{i} \\ = \sum_{i = 0}^{n - 1} t I_{n} \cdot t^{i} B_{i} - \sum_{i = 0}^{n - 1} A \cdot t^{i} B_{i} \\ = \sum_{i = 0}^{n - 1} t^{i + 1} B_{i} - \sum_{i = 0}^{n - 1} t^{i} A B_{i} \\ = t^{n} B_{n - 1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} t^{i} (B_{i - 1} - A B_{i}) - A B_{0} \end{matrix}

p (t) I_{n} = \det (t I_{n} - A) I_{n} = t^{n} I_{n} + t^{n - 1} c_{n - 1} I_{n} + \dots + t c_{1} I_{n} + c_{0} I_{n}

因两多项式，他们的对应项系数相等得：

B_{n - 1} = I_{n}, B_{i - 1} - A B_{i} = c_{i} I_{n} for 1 \leq i \leq n - 1, - A B_{0} = c_{0} I_{n}

在等式两边t的i次项系数分别乘以Aⁱ, 并将等式左右两边分别相加并合项得：

O = A^{n} + c_{n - 1} A^{n - 1} + \dots + c_{1} A + c_{0} I_{n} = p (A)

得证。

前述證明用到係數在 $k [t]$ 的矩陣的克萊姆法則，事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此，凱萊–哈密頓定理可以推廣到一個交換環 $R$ 上的任何有限生成自由模 $M$ （向量空間是特例）。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。