几何-调和平均数

Template:无来源 两个正实数$x$和$y$的几何-调和平均数（Template:Lang-en）是一种二元平均数。

定义

首先计算$x$的$y$几何平均数，称其为$g_1$。然后计算$x$的$y$调和平均数，称其为$h_1$.

$g_1=\sqrt{xy}.$

$h_1=\frac{2xy}{x+y}$

然后重复这个步骤，这样便得到了两个数列($g_n$)和($h_n$)：

$g_{n+1}=\sqrt{g_n{h}_n}.$

$h_{n+1}=\frac{2}{\frac{1}{g_n}+\frac{1}{h_n}}$

这两个数列收敛于相同的数，这个数称为$x$和$y$的几何-调和平均数，记为$M(x,y)$，或$\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{m}(x,y)$。

性质

几何-调和平均数$M(x,y)$介于$x$和$y$的几何平均数和调和平均数之间；并且也介于$x$和$y$之间。$M(x,y)$是齐次的，也就是对于$r>0$，有$M(rx,ry)=rM(x,y)$

几何-调和平均数$M(x,y)$和算术-几何平均数$AG(x,y)$之间具有以下关系：

$M(x,y)=\frac{1}{AG(\frac{1}{x},\frac{1}{y})}$

参见

• 调和平均数
• 几何平均数