共形對稱

在数学物理和共形場論中，时空的共形对称包括时空的龐加萊群。

共形群有15個自由度：

• 龐加萊群：10
• 特殊共形變換：4
• 位似变换：1

共形群

时空共形群有下面的表示：

$\begin{array}{cc}& M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }{\partial }_{\nu }-x_{\nu }{\partial }_{\mu }),\\ & P_{\mu }\equiv -i{\partial }_{\mu },\\ & D\equiv -i{x}_{\mu }{\partial }^{\mu },\\ & K_{\mu }\equiv i(x^2{\partial }_{\mu }-2x_{\mu }{x}_{\nu }{\partial }^{\nu }),\end{array}$

龐加萊群：$M_{\mu \nu }$是勞侖茲群的生成集合、$P_{\mu }$ 生成平移

$D$ 生成位似变换

$K_{\mu }$ 生成特殊形转换

交換子

交換子是：

$\begin{array}{cc}& [D,K_{\mu }]=-i{K}_{\mu },\\ & [D,P_{\mu }]=i{P}_{\mu },\\ & [K_{\mu },P_{\nu }]=2i({\eta }_{\mu \nu }D-M_{\mu \nu }),\\ & [K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i({\eta }_{\mu \nu }{K}_{\rho }-{\eta }_{\mu \rho }{K}_{\nu }),\\ & [P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i({\eta }_{\rho \mu }{P}_{\nu }-{\eta }_{\rho \nu }{P}_{\mu }),\\ & [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i({\eta }_{\nu \rho }{M}_{\mu \sigma }+{\eta }_{\mu \sigma }{M}_{\nu \rho }-{\eta }_{\mu \rho }{M}_{\nu \sigma }-{\eta }_{\nu \sigma }{M}_{\mu \rho }),\end{array}$

舉例（特殊共形變換）：

$x^{\mu }\to \frac{x^{\mu }-a^{\mu }{x}^2}{1-2a\cdot x+a^2{x}^2}$

$\frac{x{\text{'}}^{\mu }}{{x^{\prime }}^2}=\frac{x^{\mu }}{x^2}-a^{\mu },$

平面格子

特殊共形變換後

应用

• 共形場論、场 (物理)
• 普遍性、相變
• 二维湍流、雷诺数
• 粒子物理學、N=4超对称杨-米尔斯的理论、世界面、弦理论

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