重整化群

在理论物理中，重整化群（renormalization group，简称RG）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。

标度上的变化称为“Template:Internal link helper/en”。重整化群与“Template:Internal link helper/en”和“Template:Internal link helper/en”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

方程

基本想法就是耦合常数依赖长度缩放或能量标度，重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学的重整化群方程：

Template:Math,

费恩曼、朱利安·施温格、朝永振一郎在1965年赢了物理学的诺贝尔奖，因为他们都把重整化以及正規化等想法应用于量子电动力学。

利奥·卡达诺夫在1966年推出块自旋的概念来解释重整化。

然后肯尼斯·威爾森使用重整化群解决近藤问题， 以及描述临界现象和第二相變。 他1982年赢了诺贝尔奖。

块自旋

这一节介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫在1966年推导出来的。

首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为$T$，相互作用的强度使用耦合常数$J$来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达，记为$H(T,J)$。

现在，我们把这个系统分为有着$2\times 2$个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数$T$和$J$不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。

原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到$H(T^{″},J^{″})$，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。

现在考虑一个具体的例子：铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里，耦合常数$J$代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点：

1. $T=0$和$J\to \mathrm{\infty }$。从宏观上来看，温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于铁磁相。
2. $T\to \mathrm{\infty }$和$J\to 0$。与第1种情形正好相反，温度对系统的影响占据了主导，系统在宏观上变得无序。
3. $T=T_c$且$J=J_c$。在这一特定的状态上，改变系统的标度不改变系统的物理性质，因为系统处于分形态上。这对应居里相变，这个点称为临界点。

基本理论

假设有一个可以用状态变量$\{s_i\}$和一组耦合常数$\{J_k\}$表示的函数$Z$。这个函数必须能够用来描述整个物理系统，比如某个配分函数、作用量、哈密顿量等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换$\{s_i\}\to \{{\tilde{s}}_i\}$，${\tilde{s}}_i$所包含的数目必须小于$s_i$。接下来我们可以把函数$Z$只用${\tilde{s}}_i$来表示。如果$\{J_k\}\to \{{\tilde{J}}_k\}$也是可以实现的，那么就说这个物理系统是可重整化的。

最基本的物理理论都是可以重整化的，比如量子电动力学，量子色动力学，电弱相互作用等，但是引力是无法重整化的。此外，凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的，比如超导，超流。

变量的变换可以由一个β函数实现：$\{{\tilde{J}}_k\}=\beta (\{J_k\})$。这一函数可以在$J$空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的，这一变换不可逆，所以这一变换实际上是数学上的半群。

举例计算

参见Template:Internal link helper/en（四次交互论；

${\varphi }^4$

论）。欧几里得空间的拉氏量是

$ℒ(\varphi )=\frac{m^2}{2}{\varphi }^2+\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }\varphi {)}^2+\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4.$

配分函数或泛函积分是：

$Z=\int 𝒟\varphi \exp [-\int d^{(d)}x(\frac{m^2}{2}{\varphi }^2+\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }\varphi {)}^2+\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4)].$

通过重正化以及正规化

$\mathrm{\Lambda }$

：

$[D\varphi {]}_{\mathrm{\Lambda }}=\prod _{|p|<\mathrm{\Lambda }}d\varphi (p)$$Z=\int {\left[𝒟\varphi \right]}_{\mathrm{\Lambda }}\exp [-\int d^{(d)}x(\frac{m^2}{2}{\varphi }^2+\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }\varphi {)}^2+\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4)].$

若

$0<b<1$

：

$\hat{\varphi }(p)=\{\begin{array}{cc}\varphi (p),& \text{if }b\mathrm{\Lambda }⩽|p|<\mathrm{\Lambda }\\ 0,& \text{if }|p|<b\mathrm{\Lambda }\end{array}$$\varphi (p)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }b\mathrm{\Lambda }⩽|p|<\mathrm{\Lambda }\\ \varphi (p),& \text{if }|p|<b\mathrm{\Lambda }\end{array}$

所以

$Z=\int {\left[𝒟\varphi \right]}_{b\mathrm{\Lambda }}\int 𝒟\hat{\varphi }\exp [-\int d^{(d)}x(\frac{m^2}{2}(\varphi +\hat{\varphi }{)}^2+\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }\varphi +{\partial }_{\mu }\hat{\varphi }{)}^2+\frac{\lambda }{4!}(\varphi +\hat{\varphi }{)}^4)].$

介绍

$\varphi \hat{\varphi }$

：

$Z=\int {\left[𝒟\varphi \right]}_{b\mathrm{\Lambda }}{e}^{-\int d^{(d)}xℒ(\varphi )}\int 𝒟\hat{\varphi }\exp [-\int d^{(d)}x(\frac{m^2}{2}{\hat{\varphi }}^2+\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }\hat{\varphi }{)}^2+\lambda (\frac{1}{6}{\varphi }^3\hat{\varphi }+\frac{1}{4}{\varphi }^2{\hat{\varphi }}^2+\frac{1}{6}\varphi {\hat{\varphi }}^3+\frac{1}{4!}{\hat{\varphi }}^4))].$

所以新的拉氏量是

${ℒ}_{\text{eff}}(\varphi )$

以及

$Z=\int {\left[𝒟\varphi \right]}_{b\mathrm{\Lambda }}\exp [-\int d^{(d)}x{ℒ}_{\text{eff}}(\varphi )],$${ℒ}_{\text{eff}}(\varphi )$

不同于

$ℒ(\varphi )$

，因为

$\lambda ,\varphi$

改变了。 上面的 Z 陈述一个Template:Internal link helper/en。若

$x^{\prime }=bx,p^{\prime }=\frac{p}{b},|p|<\mathrm{\Lambda }$

.

$\int d^{(d)}x{ℒ}_{\text{eff}}(\varphi )=\int d^{(d)}{x}^{\prime }{b}^{-d}[\frac{1}{2}(1+\mathrm{\Delta }Z)b^2(\partial {\text{'}}_{\mu }\varphi {)}^2+\frac{1}{2}(m^2+\mathrm{\Delta }{m}^2){\varphi }^2+\frac{1}{4!}(\lambda +\mathrm{\Delta }\lambda ){\varphi }^4+\mathrm{\Delta }B{b}^4(\partial {\text{'}}_{\mu }\varphi {)}^4+\mathrm{\Delta }C{\varphi }^6+...]$

假设

${\varphi }^{\prime }=[b^{(2-d)}(1+\mathrm{\Delta }Z){]}^{1/2}\cdot \varphi$$m{\text{'}}^2=(1+\mathrm{\Delta }Z{)}^{-1}(m^2+\mathrm{\Delta }{m}^2)b^{-2}$${\lambda }^{\prime }=(1+\mathrm{\Delta }Z{)}^{-2}(\lambda +\mathrm{\Delta }\lambda )b^{d-4}$$B^{\prime }=(1+\mathrm{\Delta }Z{)}^{-2}(B+\mathrm{\Delta }B)b^d$$C^{\prime }=(1+\mathrm{\Delta }Z{)}^{-3}(C+\mathrm{\Delta }C)b^{2d-6}$

所以

$\int d^{(d)}x{ℒ}_{\text{eff}}(\varphi )=\int d^{(d)}{x}^{\prime }[\frac{1}{2}(\partial {\text{'}}_{\mu }{\varphi }^{\prime }{)}^2+\frac{1}{2}m{\text{'}}^2\varphi {\text{'}}^2+\frac{1}{4!}{\lambda }^{\prime }{\varphi }^4+\mathrm{\Delta }B(\partial {\text{'}}_{\mu }{\varphi }^{\prime }{)}^4+\mathrm{\Delta }{C}^{\prime }\varphi {\text{'}}^6+...]$

耦合常數的变量为

$\mathrm{\Delta }{m}^2,\mathrm{\Delta }Z,\mathrm{\Delta }\lambda$

。耦合常數的演进是动力系统的临界点：

$m{\text{'}}^2=m^2{b}^{-2},{\lambda }^{\prime }=\lambda b^{d-4},B^{\prime }=B{b}^d,C^{\prime }=C{b}^{2d-6}$

三种耦合

• 无关耦合（irrelevant）：耦合减少了
• 相关耦合（relevant）：耦合增加了
• 边缘耦合（marginal）：耦合不变

若 $d=4$，因为$b<1$所以B和C是无关的，m是相关的，并且$\lambda$是边缘的。

而且${\varphi }^4$论是可重整化的。

动力系统的重整化

米切爾·費根鮑姆使用重整化群计算費根鮑姆常数，而且将重整化应用于分岔理論。

阿图尔·阿维拉（巴西数学家）也将重整化群应用于动力系统、費根鮑姆常數等

其他应用包括：

• 混沌理论
• 湍流
• 分形
• 随机微分方程、Template:Internal link helper/en、参见马丁·海雷尔的研究
• 渗流理论

等

参见

• 重整化
• 密度矩陣重整化群
• 临界现象
• 普遍性

扩展阅读

入门教程与历史回顾

• S. R. White (1992): Density matrix formulation for quantum renormalization groups, Phys. Rev. Lett. 69, 2863. 有人说这是最成功的variational RG办法
• N. Goldenfeld (1993): Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.
• D. V. Shirkov (1999): Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group. arXiv.org:hep-th/9909024 Template:Wayback. A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.
• B. Delamotte (2004): A hint of renormalization. American Journal of Physics, Vol. 72, No. 2, pp. 170\u2013184, February 2004 Template:Wayback. A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group. For nonsubscribers see arXiv.org:hep-th/0212049 Template:Wayback
• H.J. Maris, L.P. Kadanoff (1978): Teaching the renormalization group. American Journal of Physics, June 1978, Volume 46, Issue 6, pp. 652-657 Template:Wayback. A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.
• K. Huang 黃克孫 (2013): A Critical History of Renormalization. arXiv:1310.5533 Template:Wayback
• Template:Cite web

相关著作

• T. D. Lee 李政道; Particle physics and introduction to field theory, Harwood academic publishers, 1981, [ISBN 3-7186-0033-1]. 是总结
• L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence; Gordon and Breach, 1999. [ISBN 90-5699-145-0].
• Vasil'ev, A. N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics; Chapman & Hall/CRC, 2004. [ISBN 9780415310024] (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
• Zinn-Justin, Jean; Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
• The same author: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN ]. Full text available in PostScript Template:Wayback.
• Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ⁴-Theories, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7. Full text available in PDF Template:Wayback.