內射維度、投射維度與同調維度

投射維度、內射維度與同調維度（又稱整體維度）是交換代數中考慮的重要不變量。

定義

以下設 $A$ 為交換環，而 $M$ 為 $A$ -模。

$M$ 的內射維度 ${i d}_{A} (M)$ 定義為其內射分解的最短長度（當 $M = (0)$ 時置 ${i d}_{A} (0) = - \infty$ ）。投射維度 ${p d}_{A} (M)$ 則定義為其投射分解的最短長度。

利用同調代數的工具，可以進一步得到下述刻劃：

命題一. 設 $n \geq 0$ 為整數，下述條件等價：

${i d}_{A} (M) \leq n$ 。
對所有 $A$ -模 $N$ ，有 $i > n \Rightarrow {E x t}_{A}^{i} (N, M) = 0$ 。
對所有理想 $I \subset A$ ，有 ${E x t}_{A}^{n + 1} (A / I, M) = 0$ 。
對所有正合序列 $0 \to M \to I^{0} \to \dots \to I^{n - 1} \to Q \to 0$ ，若每個 $I$ 都是內射模，則 $Q$ 也是內射模。

命題二. 設 $n \geq 0$ 為整數，下述條件等價：

${p d}_{A} (M) \leq n$ 。
對所有 $A$ -模 $N$ ，有 $i > n \Rightarrow {E x t}_{A}^{i} (M, N) = 0$ 。
對所有正合序列 $0 \to K \to P_{n - 1} \to \dots \to P_{0} \to M \to 0$ ，若每個 $P$ 都是投射模，則 $K$ 也是投射模。

當 $A$ 為諾特環而 $M$ 為有限生成 $A$ -模時，上述條件更等價於

由此可定義環 $A$ 的同調維度 $h d (A)$ 為：

內射維度、投射維度與同調維度對局部化有下述關係：

{i d}_{A} (M) = \sup_{𝔭} {i d}_{A_{𝔭}} (M_{𝔭})

{p d}_{A} (M) = \sup_{𝔭} {p d}_{A_{𝔭}} (M_{𝔭})

其中的 $𝔭$ 取遍 $A$ 的所有素理想（或極大理想），而投射維度給出 $S p e c A \to ℤ \cup {\pm \infty}$ 的上半連續函數。事實上，僅須考慮 $M$ 的支撐集中的素理想。

由此立刻得到 $h d (A) = \sup_{𝔭} h d (A)$ 。

此外，它們與模的深度也有密切的關係，例如：

定理（Auslander-Buchsbaum）：設 $A$ 為局部諾特環， $M$ 為有限生成 $A$ -模，而且其投射維度有限，則

{p d}_{A} (M) + {d e p t h}_{A} (M) = d e p t h (A)

定理：設 $A$ 為局部諾特環， $M$ 為有限生成 $A$ -模，而且其內射維度有限，則

{i d}_{A} (M) = d e p t h (A)

最後，同調維度為正則局部環給出了一個完全內在的刻劃：

定理（Serre）：一個局部諾特環 $A$ 是正則局部環的充要條件是 $h d (A) < + \infty$ ，此時 $h d (A) = \dim A$ 。

N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6