深度 (模論)

在交換代數中， 深度是交換環與模的一種不變量，它可以由正則序列定義，或以同調代數中的Ext函子刻劃。

正則序列

設 $R$ 為交換環，$M$ 為 $R$-模。若元素 $x\in R$ 滿足 $\mathrm{\forall }m\in M,xm=0\Rightarrow m=0$（即：$x$ 非 $M$ 的零因子），則稱之為 $M$-正則元。

一組 M-正則序列是一個 $R$ 中的有限序列 $(x_1,\dots ,x_d)$，使得對每個 $1\le i\le d$ 有

$x_i$ 為 $M/(x_0,\dots ,x_{i-1})$-正則元（置 $x_0:=0$）

定理（Rees）：若 $(R,𝔪)$ 是局部諾特環，元素皆屬於 $𝔪$ 的正則序列之置換仍是正則序列，而且這類序列中的極大者都具相同長度。

深度

假設同上，並固定一個理想 $I\subset R$。定義$R$-模 $M$ 的I-深度為元素皆屬於 $I$ 的 $M$-正則序列的最大長度，記作 ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)$（在法文文獻中常記作 ${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}}_I(M)$）。環 $R$ 的 $I$-深度定義為 ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(R)$。

${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)$ 亦可用Ext函子刻劃為使得 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^n(R/I,M)\ne 0$ 的最小非負整數 $n$。

下列等式將深度問題化約到局部環的情形：

${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)=\underset{𝔭\supset I}{\sup }(M_{𝔭})$

以下定理揭示了深度與射影維度的關係。

定理 （Auslander-Buchsbaum）：設 $A$ 為局部諾特環，$M$ 為有限生成 $A$-模，而且其射影維度有限，則

${\mathrm{p}\mathrm{d}}_A(M)+{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_A(M)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(A)$

文獻

• Template:Springer
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150. ISBN 0-387-94268-8
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1