克雷洛夫子空间

线性代数中，由n阶方阵A与n维向量b生成的r阶克雷洛夫子空间是b在A的前r次幂下（始于$A^0=I$）的列空间张成的线性子空间，即

${𝒦}_r(A,b)=\mathrm{span}\{b,Ab,A^{2}b,\dots ,A^{r-1}b\}.$

背景

这一概念得名于苏联应用数学家、海军工程师Alexei Krylov，他在1931年发表了一篇关于这一概念的论文。

性质

• ${𝒦}_r(A,b),A{𝒦}_r(A,b)\subset {𝒦}_{r+1}(A,b)$.
• 令$r_0=\dim \mathrm{span}\{b,Ab,A^{2}b,\dots \}$，则$\{b,Ab,A^{2}b,\dots ,A^{r-1}b\}$是线性无关的，除非$\mathrm{\forall }r>r_0,{𝒦}_r(A,b)\subset {𝒦}_{r_0}(A,b)$，$\dim {𝒦}_{r_0}(A,b)=r_0$。因此$r_0$是克雷洛夫子空间${𝒦}_r(A,b)$的最大维度。
• 最大维度满足$r_0\le 1+\mathrm{rank}A,r_0\le n$.
• 考虑$\dim \mathrm{span}\{I,A,A^2,\dots \}=\mathrm{deg}p(A)$，其中$p(A)$是A的极小多项式。我们有$r_0\le \mathrm{deg}p(A)$。此外$\mathrm{\forall }A,\mathrm{\exists }b$，对它来说此约束是紧密的，即$r_0=\mathrm{deg}p(A)$。
• ${𝒦}_r(A,b)$是由b产生的扭化$k[x]$-模$(k^n{)}^A$的循环子模，其中$k^n$是k上的线性空间。
• $k^n$可分解为克雷洛夫子空间的直和。Template:Clarify

使用

克雷洛夫子空间用于寻找高维线性代数问题的近似解。控制论的很多线性动态系统检测，特别是与可控制性和可观测性相关的测试，都要检查克雷洛夫子空间的秩。测试等同于寻找与系统/输出映射相关的格拉姆行列式的张成空间，因此不可控与不可观测子空间只是克雷洛夫子空间的正交补。 阿诺德迭代法等现代迭代法可用于寻找大型稀疏矩阵的特征值，或求解大型线性方程组。这些方法尽量避免矩阵间的运算，而将向量与矩阵相乘。从向量b开始，可以计算$Ab$，然后将向量与A相乘，求得$A^{2}b$等等。所有这样的算法都称作克雷洛夫子空间方法，是目前数值线性代数中最成功的方法之一。这些方法可用于能计算矩阵-向量乘法而无A的显式表示的情形，从而产生了无矩阵法。

问题

由于幂迭代的特性，向量很快就会变得近乎线性相关，因此依赖于克雷洛夫子空间的方法经常要正交化，例如厄米矩阵的兰佐斯算法或更一般矩阵的阿诺德迭代法。

现有方法

最著名的克雷洛夫法有共轭梯度法、诱导降维法、广义最小残量方法、稳定双共轭梯度法、准最小残差法、无转置准最小残差法、最小残差法等等。

另见

• 迭代法

阅读更多

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• Gerard Meurant and Jurjen Duintjer Tebbens: ”Krylov methods for nonsymmetric linear systems - From theory to computations”, Springer Series in Computational Mathematics, vol.57, (Oct. 2020). Template:ISBN, url=-{R|https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0}-.
• Iman Farahbakhsh: "Krylov Subspace Methods with Application in Incompressible Fluid Flow Solvers", Wiley, Template:ISBN (Sep., 2020).