克莱布希-高登系数

在量子力学中，克莱布希－高登系数（Clebsch–Gordan coefficients，简称 CG 系数，又称向量耦合系数等）是两个角动量耦合时，它们的本征函数的组合系数。

从数学的角度，克莱布希－高登系数出现在紧李群的表示论中，它研究的是两个不可约表示的张量积如何分解成不可约表示的直和。

克莱布希－高登系数因阿尔弗雷德·克莱布什和保罗·哥尔丹而得名。

记号

在本文中，在不引起混淆的情况下，省略算符上的尖号。用粗体来表示向量（算符），用非粗体表示标量（算符）。

角动量耦合的一般理论

本文的讨论从角动量的一般量子理论出发，以角动量算符的对易关系为基础，不涉及角动量算符在某个具体表象下的表示。相关内容可参见角动量算符对易关系一文。 给定了 Template:Mvar 之后，本征函数组

$|jm⟩,m=-j,-j+1,\dots ,j-1,j$

张开成一个 2Template:Mvar+1 维的函数空间。

现在给定两个量子数 Template:Mvar₁ 和 Template:Mvar₂，则其本征函数组张开的空间分别有 2Template:Mvar₁+1 维 与 2Template:Mvar₂+1 维。现考虑这两个函数空间的张量积

$V=V_1\otimes V_2=\mathrm{span}(\{|j_1{m}_1⟩|m_1=-j_1,-j_1+1,\dots ,j_1-1,j_1\})\otimes \mathrm{span}(\{|j_2{m}_2⟩|m_2=-j_2,-j_2+1,\dots ,j_2-1,j_2\})$

显然有

$V=\mathrm{span}(\{|j_1{m}_1⟩|\otimes |j_2{m}_2⟩|m_1=-j_1,-j_1+1,\dots ,j_1-1,j_1;m_2=-j_2,-j_2+1,\dots ,j_2-1,j_2\})$

下面为简便起见，定义新的记号

$|j_1{m}_1{j}_2{m}_2⟩=|j_1{m}_1⟩\otimes |j_2{m}_2⟩$

一般地，若 Template:Mvar, Template:Mvar 分别是这两个空间里的算符，则在积空间上可以定义下列算符：

$f\otimes g:V_1\otimes V_2\to V_1\otimes V_2,u\otimes v\to (fu)\otimes (gv)$

另一方面，定义在这两个空间上的算符可以自然地嵌入到积空间中，只需取

$f\to f\otimes 1,g\to 1\otimes g$

其中 1 表示恒等操作（算符）。

在这样的定义下，两个角动量算符的的耦合表达为：

$j_{\alpha }=j_{1,\alpha }+j_{2,\alpha }=j_{1,\alpha }\otimes 1+1\otimes j_{2,\alpha },\alpha \in \{x,y,z\}$

$𝐣={𝐣}_1+{𝐣}_2={𝐣}_1\otimes 1+1\otimes {𝐣}_2,\alpha \in \{x,y,z\}$

容易验证这样定义的 Template:Mvar 满足角动量的基本对易关系，因此是一个角动量算符，称为总角动量算符。

根据角动量的一般理论，总角动量算符也有自己的本征函数组，它可以用积空间里的基来表示

$|jm⟩=\sum _{m_1,m_2}⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|jm⟩|j_1{m}_1{j}_2{m}_2⟩$

这里的线性组合系数

$⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|jm⟩$

就被称为克莱布希－高登系数。在正交归一性的要求下，克莱布希－高登系数仍然具有相位不确定性。本文中取 Condon-Shortle 惯例，使所有克莱布希－高登系数为实数。

耦合表象中量子数的取值

$j_z=j_{1,z}+j_{2,z}$

上式两边取矩阵元，就得到：

$⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|jm⟩={\delta }_{m_1+m_2,m}⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|j{m}_1+m_2⟩$

故在克莱布希－高登系数的表达式中可以省略 Template:Mvar 的值。

下面考虑耦合表象中量子数 Template:Mvar 的取值，根据上式，有

$j_{\max }=m_{\max }=m_{1,\max }+m_{2,\max }=j_1+j_2$

故 Template:Mvar 最大的可能取值是 Template:Mvar₁ 与 Template:Mvar₂ 的和，且它只出现一次。此时

$m=-j_{\max },-j_{\max }+1,\dots ,j_{\max }-1,j_{\max }$

考虑下一个可能的 Template:Mvar，显然第二大的 Template:Mvar=Template:Mvar_max-1，它可以通过两种方式组合而来，

$m_1=j_1-1,m_2=j_2\text{ or }{m}_1=j_1,m_2=j_2-1$

它们张开成一个二维的空间，但 Template:Mvar=Template:Mvar_max 的本征函数组里面已经出现过 Template:Mvar=Template:Mvar_max-1，这里占用了一维，因此下一个可能的 Template:Mvar 只能是 Template:Mvar_max-1，它同样只出现一次。

这样分析下去，就会知道 Template:Mvar 的所有可能取值只能是

$j_{\min },j_{\min }+1,\dots ,j_{\max }-1,j_{\max }$

其中每个 Template:Mvar 恰好出现一次，且

$j_{\max }-j_{\min }\in \mathbb{Z}$

但积空间的维数应该等于两个空间维数之积，即

$\sum _{n=j_{\min }}^{j_{\max }}(2n+1)=(2j_1+1)(2j_2+1)$

故有

$j_{\min }=|j_1-j_2|$

一个例子

以 $j_1=j_2=\frac{1}{2}$ 为例。

对任意一个算符 $f$，本节中的矩阵元表示

$⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|f|j_1{m}_1{j}_2{m}_2⟩$

的值。

$j_z=\frac{1}{2}(\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right])=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$

$j_{+}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right]=j_{-}^{†}$

${𝐣}^2=\frac{1}{2}[j_{+},j_{-}{]}_{+}+j_z^2=\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$

计算最后一个矩阵的本征值和本征向量，得到

$\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ -2^{-1/2}& 2^{-1/2}& 0& 0\\ 2^{-1/2}& 2^{-1/2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ -2^{-1/2}& 2^{-1/2}& 0& 0\\ 2^{-1/2}& 2^{-1/2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\mathrm{diag}\{0,2,2,2\}$

于是可知克莱布希－高登系数为：

m=1	j=
$m_1,m_2=$	1 1/2, 1/2 $1$

m=0	j=
m1, m2=	1 0 1/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ -1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

m=-1	j=
m1, m2=	1 -1/2, -1/2 $1$

从上面的例子可以看到，对于一般的情况，用矩阵来求克莱布希－高登系数将是十分繁琐的。一般可以采用下面的 Racah 表达式计算，更多的情况是直接查表。

Racah 表达式

Racah 用代数方法得出了克莱布希－高登系数的有限级数表达式。

$\begin{array}{cc}& ⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|j_3{m}_3⟩\\ =& {\delta }_{m_3,m_1+m_2}{[(2j_3+1)\frac{(j_1+j_2-j_3)!(j_2+j_3-j_1)!(j_3+j_1-j_2)!}{(j_1+j_2+j_3+1)!}\times \prod _{i=1,2,3}(j_i+m_i)!(j_i-m_i)!]}^{1/2}\\ \times & \sum _{\nu }[(-1{)}^{\nu }\nu !(j_1+j_2-j_3-\nu )!(j_1-m_1-\nu )!(j_2+m_2-\nu )!(j_3-j_1-m_2+\nu )!(j_3-j_2+m_1+\nu )!{]}^{-1}\end{array}$

其中， Template:Mvar 的求和限制在使得所有的阶乘因子中的数非负的范围内。

对称性

克莱布希－高登系数有下列的对称性

$\begin{array}{cc}⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|JM⟩& =(-1{)}^{j_1+j_2-J}⟨j_1-m_1{j}_2-m_2|J-M⟩\\ & =(-1{)}^{j_1+j_2-J}⟨j_2{m}_2{j}_1{m}_1|JM⟩\\ & =(-1{)}^{j_1-m_1}\sqrt{\frac{2J+1}{2j_2+1}}⟨j_1{m}_{1}J-M|j_2-m_2⟩\\ & =(-1{)}^{j_2+m_2}\sqrt{\frac{2J+1}{2j_1+1}}⟨J-M{j}_2{m}_2|j_1-m_1⟩\\ & =(-1{)}^{j_1-m_1}\sqrt{\frac{2J+1}{2j_2+1}}⟨JM{j}_1-m_1|j_2{m}_2⟩\\ & =(-1{)}^{j_2+m_2}\sqrt{\frac{2J+1}{2j_1+1}}⟨j_2-m_{2}JM|j_1{m}_1⟩\end{array}$

与维格纳 3-j 符号的关系

克莱布希－高登系数与[[维格纳 3-j 符号|维格纳 3-Template:Mvar 符号]]有下列关系：

$\left(\begin{array}{ccc}{j}_1& j_2& j_3\\ m_1& m_2& m_3\end{array}\right)\equiv \frac{(-1{)}^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}}⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|j_3-m_3⟩.$

后者可以用于计算下列形式的球谐函数积分：

$\begin{array}{cc}& \int Y_{l_1{m}_1}(\theta ,\phi )Y_{l_2{m}_2}(\theta ,\phi )Y_{l_3{m}_3}(\theta ,\phi )\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \\ & =\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi }}\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ m_1& m_2& m_3\end{array}\right)\end{array}$

由球谐函数的正交归一性，上面的结果也可以用来对球谐函数作展开。

参见

• 角动量算符及其一般理论

外部链接

• 克莱布希－高登系数表 Template:Wayback