偶极子天线

飛機所使用雷達高度計的UHF半波長偶极子天线

偶极子天线（Template:Lang-en或Template:Lang）是在无线电通信中，使用最早、结构最简单、应用最广泛的一类天线。它由一对对称放置的导体构成，导体相互靠近的两端分别与Template:Link-en相连。用作发射天线时，电信号从天线中心馈入导体；用作接收天线时，也在天线中心从导体中获取接收信号。常见的偶极子天线由两根共轴的直导线构成，这种天线在远处产生的辐射场是轴对称的，并且在理论上能够严格求解。偶极子天线是共振天线，理论分析表明，细长偶极子天线内的电流分布具有驻波的形式，驻波的波长正好是天线产生或接收的电磁波的波长。因而制作偶极子天线时，会通过工作波长来确定天线的长度。最常见的偶极子天线是半波天线，它的总长度近似为工作波长的一半。除了直导线构成的半波天线，有时也会使用其他种类的偶极子天线，如直导线构成全波天线、短天线，以及形状更为复杂的笼形天线、蝙蝠翼天线等。历史上，海因里希·赫兹在验证电磁波存在的实验中使用的天线就是一种偶极子天线。

直天线的理论分析

在洛仑兹规范下，任意电流电荷体系在场点$r$产生的矢势由推迟势公式给出：

$𝐀(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{𝐫}^{\prime }$

其中$t_r$是推迟时刻。

积分方程法

对于一般的偶极子天线，天线上变化的电流会产生辐射场，辐射场也会影响天线上的电流分布。求解一般的偶极子天线产生的辐射场是一个复杂的边值问题。对于导体构成的直天线，设其内部的电场的切向分量为$E_z$。这样在天线内部，矢势的切向分量$A_z$满足方程：

$\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial t^2}=-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z\partial t}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}$

将推迟势公式代入，即可得到天线内部的电流密度$J_z$满足的积分方程：

$\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }(\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})(\frac{J_z({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|})d^3{𝐫}^{\prime }=\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}$

如果使用单频交流电馈电，利用分离变量法，可以将方程转化为：

$\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }{J}_z({𝐫}^{\prime })(\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+k^2)(\frac{\exp (-ik|𝐫-{𝐫}^{\prime }|)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|})d^3{𝐫}^{\prime }=\frac{ik}{c}{E}_z$

该方程被称为波克灵顿（Template:Lang-en）积分方程。它需要在适当的边界条件（如天线末端$J_z=0$）下求解。

如果天线由良导体构成，则$E_z$只在天线中心的空气隙中（$z=0$）明显地不为零，而在导体中近似为零，可以用狄拉克δ函数$U\delta (z)$代替。此时$A_z$满足一维波动方程，具有驻波形式，满足：

$\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }{J}_z({𝐫}^{\prime })(\frac{\exp (-ik|𝐫-{𝐫}^{\prime }|)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|})d^3{𝐫}^{\prime }=C\cos (kz)-i\frac{\omega {ϵ}_0}{2k}U\sin (k|z|)$

待定系数C由边界条件给出。此为海伦(Template:Lang-en)积分方程。利用矩量法可以求得两个方程的数值解。

细空心圆柱形天线

对于截面为圆形，半径远小于工作波长的细空心天线，可以近似认为其上的电流成轴对称分布，可对角度变量进行积分，方程转化为：

$\underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}I(z^{\prime })(\frac{\exp (-ik|𝐫-{𝐫}^{\prime }|)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|})d^3{𝐫}^{\prime }=C\cos (kz)-i\frac{\omega {ϵ}_0}{2k}U\sin (k|z|)$

如果进一步假定天线的半径远小于其长度(两者之比小于1/60)，可以近似认为在积分中，只有z附近的$I(z^{\prime })$才对$A_z$有贡献，$I$与$A_z$具有类似的形式。这样天线内部的电流强度也近似满足一维波动方程。电流在天线上的分布近似为驻波形式：

$I(z,t)=I_{0}cos(\frac{2\pi }{\lambda }(L/2-|z|))\cos (\omega t)$

其中$L$是天线全长，$\omega$是交流电的频率。这种情形下，天线在场点$r$处产生的矢势为：

$𝐀(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0{I}_0\widehat{𝐳}}{4\pi }\underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}\frac{\cos (k(L/2-|z{|}^{\prime }))\cos (\omega t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{z}^{\prime }$

如果场点离天线的距离足够远，以至于下列三个条件同时满足时，场点处于辐射区：

$r>>L$

$r>>\lambda$

$r>>L^2/\lambda$

此时推迟势公式可近似为：

$𝐀(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0{I}_0\widehat{𝐳}}{4\pi r}\underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}\cos (k(L/2-|z{|}^{\prime }))\cos (\omega t-kr+k{z}^{\prime }\cos \theta )d{z}^{\prime }=\frac{{\mu }_0{I}_0\cos (\omega t-kr)\widehat{𝐳}}{2\pi kr}(\frac{\cos (kL/2\cos \theta )-\cos (kL/2)}{{\sin }^2\theta })$

略去不属于辐射场的高阶项，场点的磁感应强度$𝐁$满足：

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀\approx \frac{{\mu }_0{I}_0\sin (\omega t-kr)\hat{\mathit{\varphi }}}{2\pi r}(\frac{\cos (kL/2\cos \theta )-cos(kL/2)}{\sin \theta })$

辐射功率的角分布为：

$\frac{dP}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{{\mu }_{0}c{I}_0^2}{8{\pi }^2}(\frac{\cos (kL/2\cos \theta )-cos(kL/2)}{\sin \theta }{)}^2$

对上式积分，利用三角积分函数，可以给出辐射总功率以及辐射阻抗的表达式:

$P=\frac{{\mu }_{0}c{I}_0^2}{2\pi {\sin }^2(kL/2)}\{\gamma +\ln (kL)-\mathrm{Ci}(kL)+\frac{1}{2}\sin (kL)\mathrm{Si}(2kL)-2\mathrm{Si}(kL)+\frac{1}{2}\cos (kL)[\gamma +\ln (kL/2)+\mathrm{Ci}(2kL)-2\mathrm{Ci}(kL)]\}=R_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}}{I}_0^2$

若天线的半径与长度之比$a/L$并不小，使用“电流驻波分布”的近似并不准确：有限的$a/L$会为这一定律引入$(\ln a/L{)}^{-1}$量级的相对修正。

短天线

长度远小于工作波长的天线为短天线。