三角积分

Si(x)（红）和Ci(x)（蓝）

三角积分是含有三角函数的一种积分。一些简单的含有三角函数的积分，可在三角函数积分表中找到。

正弦积分

Template:Main 有两种不同的正弦积分：

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)$是$\frac{\sin x}{x}$的原函数，当$x=0$时为零；$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)$是$\frac{\sin x}{x}$的原函数，当$x=\mathrm{\infty }$时为零。我们有：

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=\mathrm{S}\mathrm{i}(x)-\frac{\pi }{2}$

注意到$\frac{\sin t}{t}$是sinc函数，也是第零个球贝塞尔函数。

余弦积分

有两种不同的余弦积分：

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cos t-1}{t}dt$

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt$

其中$\gamma$是欧拉-马斯刻若尼常数.

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)$是$\frac{\cos x}{x}$的原函数，当$x\to \mathrm{\infty }$时为零。我们有：

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

双曲正弦积分

$\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sinh t}{t}dt=\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}(x).$

双曲余弦积分

$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cosh t-1}{t}dt=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)$

展开式

有各种各样的展开式，可以用于计算三角积分。

渐近展开式

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\frac{\pi }{2}-\frac{\cos x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+...)-\frac{\sin x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+...)$

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\frac{\sin x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+...)-\frac{\cos x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+...)$

这些级数是发散的，但可以用来估计，甚至是精确计算三角积分。

收敛级数

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot 3}+\frac{x^5}{5!\cdot 5}-\frac{x^7}{7!\cdot 7}\pm \cdots$

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma +\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot 2}+\frac{x^4}{4!\cdot 4}\mp \cdots$

这些级数对于任何复数的$x$都是收敛的，但当$|x|\gg 1$时，计算非常缓慢，也不是很精确。

与指数积分的关系

函数

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp (-zt)}{t}\mathrm{d}t,(\mathrm{R}\mathrm{e}(z)\ge 0)$

称为指数积分，与正弦和余弦积分有以下的关系：

${\mathrm{E}}_1(\mathrm{i}x)=i(-\frac{\pi }{2}+\mathrm{S}\mathrm{i}(x))-\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=i\mathrm{s}\mathrm{i}(x)-\mathrm{c}\mathrm{i}(x)(x>0)$

参见

• 指数积分
• 对数积分

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See Chapter 5）Template:Wayback
  • 第5.2节，正弦和余弦积分Template:Wayback