积分方程

Template:NoteTA Template:微积分学 积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。

积分方程最基本的形式为第一类弗里德霍姆方程：

$f(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,t)\varphi (t)dt,$

其中，$f$和$K$已知，$K$又称核函数，$\varphi$为所求未知函数。积分上下限$a$，$b$为常量。

如未知函数同时出现在积分符号内外，则该方程称作第二类弗里德霍姆方程：

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,t)\varphi (t)dt,$

$\lambda$作为未知因子，起到与线性代数中特征值类似的作用。

如果积分上限或下限为变量，则该方程称为伏尔泰拉方程。第一类和第二类伏尔泰拉方程有下述形式：

$f(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)\varphi (t)dt,$

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)\varphi (t)dt,$

如果$f$始终为$0$，以上所有方程称为齐次，否则，称为非齐次。

参见

• 微分方程

参考文献

• George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• Integral Equations: Exact Solutions Template:Wayback at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral Equations: Index Template:Wayback at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral equations Template:Wayback at exampleproblems.com