倒單擺

平衡台車是簡單的機械人系統。台車中有伺服機構，監控桿子的角度，利用讓台車來回移動時來維持直桿直立，上面的酒杯可以觀察直桿是否有大幅震蕩或是傾斜角度過大

倒單擺是質心在其樞紐點以上的擺。倒單擺在力學上無法穩定平衡，在沒有額外控制時，倒單擺會倒下。若利用控制系統控制桿的角度，在桿開始要倒下時調整質心位置，讓桿子不會倒下，可以維持倒單擺的平衡。倒單擺是動力學及控制理論中的經典問題，常用來測試不同的控制策略。倒單擺常以樞紐點在台車上的方式來呈現，如圖所示。這稱為「台車和桿子」。大部份的應用會限制單擺只有一個自由度，固定擺的旋轉軸。一般的單擺在重物在樞紐點下方時會平衡，倒單擺在其本質上就無法自行平衡，需要透過外在控制才能平衡。外在控制平衡的作法可以在樞紐點加力矩，或是讓樞紐點水平移動，再透過回授系統來使倒單擺平衡，改變質量相對樞紐點轉動的速度，或是讓樞紐點在垂直方向晃動。像人用手設法平衡倒立的掃帚，就是人工平衡倒單擺的例子。

簡介

單擺的重物在樞紐點下方時，即為系統的穩定平衡點。單擺不受外在力矩時可以維持不動，若讓單擺重物偏離平衡位置，放開後重力會產生力矩使單擺回到平衡點。倒單擺旳重物在樞紐點上方，會用剛體的桿子支持重物，位置恰好和穩定平衡點相差180度，是不穩定平衡點：倒單擺在不受外在力矩時可以維持不動，但若只要有一點偏差，重物就會偏離平衡，而重力產生的力矩會使單擺偏離平衡點，因此最後倒單擺會倒下。

為了要使單擺在倒單擺的位置下可以維持平衡，可以使用控制系統，監控倒單擺的角度，在倒單擺開始要倒下時加以施加力或是力矩，使它往反方面移動，設法讓它平衡。倒單擺是動力學及控制理論中的經典問題，常用來測試不同的控制演算法（例如PID控制器、状态空间、Template:Le、模糊控制、遗传算法等）。此問題的一些變化包括有多個桿、由倒單擺改為台車及倒單擺系統（台車和桿子），在蹺蹺板上平衡台車及倒單擺系統。倒單擺和火箭或是飛彈導引系統有關，其重心位在阻力中心的後方，因此在空氣力學上會不穩定。用伺服機構平衡台車及倒單擺系統就可以對此問題有一些理解，或是徒手設法平衡倒立的掃帚也可以。利用自平衡的Template:Le即可解決此問題，例如賽格威、自平衡滑行车及Template:Le。

另外有一種可以使倒單擺穩定，而且不需回授或是控制系統的方式，是將倒單擺的樞紐快速上下震盪，這稱為是卡皮察擺。若振荡的加速度及振幅夠大，倒單擺會以一種反直覺的方式從擾動中恢復平衡。若樞鈕是以簡諧運動的方式運動，則倒單擺的運動可以用马丢函数來描述。

运动方程

倒單擺的运动方程和單擺運動的限制條件有關。倒單擺會依照其運動組態的不同，有不同的运动方程。

固定樞紐點

若倒單擺的樞紐點固定無法移動，其運動方程會類似一般的單擺，但符號會有些不同。以下的運動方程假設沒有摩擦力，在運動時也沒有阻力，桿為剛體，沒有質量，而且運動限制在二维空间內。

$\ddot{\theta }-\frac{g}{\ell }\sin \theta =0$

其中$\ddot{\theta }$是擺的角加速度，$g$是地球表面的標準重力，$\ell$是擺的長度，而$\theta$是擺相對平衡位置的角度。

也可以計算角加速度如下：

$\ddot{\theta }=\frac{g}{\ell }\sin \theta$

倒單擺的角加速度會使擺遠離不穩定平衡的垂直位置，角加速度和長度成反比。長的倒單擺倒下的速度會比較慢。

用力矩及轉動慣量來推導

假設倒單擺的擺由質量為$m$的質點，接在長度為$\ell$的剛體無質量桿上，擺的另一端是固定的樞紐點。

系統的淨力矩會等於轉動慣量和角加速度的乘積：

${\mathit{\tau }}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}=I\ddot{\theta }$

淨力矩是由重力產生的力矩：

${\mathit{\tau }}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}=mg\ell \sin \theta$

其中$\theta$是擺相對平衡位置的角度。

所得的方程式為：

$I\ddot{\theta }=mg\ell \sin \theta$

點質點的轉動慣量公式為：

$I=m{R}^2$

在倒單擺的例子中，半徑為擺的長度$\ell$。

將轉動慣量用$I=m{\ell }^2$來表示

$m{\ell }^2\ddot{\theta }=mg\ell \sin \theta$

等號兩邊同除${\ell }^2$，可得：

$\ddot{\theta }=\frac{g}{\ell }\sin \theta$

台車上的倒單擺

台車上倒單擺的圖，假設桿沒有質量，台車質量及擺的質量分別是M和m，桿的長度假設是$\ell$

台車上的倒單擺包括質量為$M$的台車,上面有可以轉動的桿，頂端有質量為$m$的重物，台車的運動方向受到限制，只能在一個方向進行線性運動。

拉格朗日方程

可以用拉格朗日力学推導運動方程。以右側的圖為準，其中的$\theta (t)$是長度為$l$的擺相對於垂直線的角度，而作用力是重力以及x方向的外力F。定義$x(t)$是台車的位置，系統的拉格朗日量$L=T-V$為：

$L=\frac{1}{2}M{v}_1^2+\frac{1}{2}m{v}_2^2-mg\ell \cos \theta$

其中$v_1$是台車速度，$v_2$是點狀質量$m$的速度。 $v_1$及$v_2$可以用x和$\theta$來表示，其作法是將速度寫成位置的一階導數：

$v_1^2={\dot{x}}^2$

$v_2^2={\left(\frac{d}{dt}(x-\ell \sin \theta )\right)}^2+{\left(\frac{d}{dt}(\ell \cos \theta )\right)}^2$

簡化$v_2$的式子可得：

$v_2^2={\dot{x}}^2-2\ell \dot{x}\dot{\theta }\cos \theta +{\ell }^2{\dot{\theta }}^2$

拉格朗日量為：

$L=\frac{1}{2}(M+m){\dot{x}}^2-m\ell \dot{x}\dot{\theta }\cos \theta +\frac{1}{2}m{\ell }^2{\dot{\theta }}^2-mg\ell \cos \theta$

運動方程為：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=F$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}-\frac{\partial L}{\partial \theta }=0$

替代式子中的$L$，並且簡化，可以得到倒單擺的運動方程：

$(M+m)\ddot{x}-m\ell \ddot{\theta }\cos \theta +m\ell {\dot{\theta }}^2\sin \theta =F$

$\ell \ddot{\theta }-g\sin \theta =\ddot{x}\cos \theta$

上述式子是非線性的，不過因為目標是維持倒單擺直立，方程式可以在$\theta \approx 0$附近線性化。

牛頓第二運動定律

若用牛頓第二運動定律求解此問題，可以得到單擺和台車各部份的作用力，每一個物體都有二個方程式，分別是x方向及y方向。台車的運動方程如下，等號左邊是合力，等號右邊是質量及加速度。

$F-R_x=M\ddot{x}$

$F_N-R_y-Mg=0$

上式中$R_x$和$R_y$是樞紐點上的作用力，$F_N$是台車受到的正向力。第二個式子只和垂直的作用力有關，因此可以用來求解正向力。第一個式子可以用求解水平的作用力。為了完成以上的方程，需要計算擺的加速度，若在慣性坐標下，點質量的位置是

${\overrightarrow{r}}_P=(x-\ell \sin \theta ){\hat{x}}_I+\ell \cos \theta {\hat{y}}_I$

在慣性坐標下，對時間取二階微分，即可得到加速度。

${\overrightarrow{a}}_{P/I}=(\ddot{x}+\ell {\dot{\theta }}^2\sin \theta -\ell \ddot{\theta }\cos \theta ){\hat{x}}_I+(-\ell {\dot{\theta }}^2\cos \theta -\ell \ddot{\theta }\sin \theta ){\hat{y}}_I$

因此，用牛頓第二運動定律求解時，可以列出x方向及y方向的式子。注意給擺的反作用力是正的，給台車的是負的。這是因為牛頓第三運動定律的結果。

$R_x=m(\ddot{x}+\ell {\dot{\theta }}^2\sin \theta -\ell \ddot{\theta }\cos \theta )$

$R_y-mg=m(-\ell {\dot{\theta }}^2\cos \theta -\ell \ddot{\theta }\sin \theta )$

第一個方程式提供了一個在未知外力$F$時，可以計算水平反作用力的方式。可以用第二式求解垂直作用力，再將第一式的$R_x=m(\ddot{x}+\ell {\dot{\theta }}^2\sin \theta -\ell \ddot{\theta }\cos \theta )$用$F-R_x=M\ddot{x}$取代，可得

$(M+m)\ddot{x}-m\ell \ddot{\theta }\cos \theta +m\ell {\dot{\theta }}^2\sin \theta =F$

可以觀察到這個式子和拉格朗日方程的結果完全一樣。為了得到第二式，需要將擺的運動方程和始終和擺垂直的單位向量進行點積，結果會列為物體座標（B）下的X軸。在慣性座標（I）下，向量可以用以下簡單的二維坐標轉換來表示

${\hat{x}}_B=\cos \theta {\hat{x}}_I+\sin \theta {\hat{y}}_I$

擺的運動方程可以寫作向量的形式，為$\sum \overrightarrow{F}=m{\overrightarrow{a}}_{P/I}$。在兩側和${\hat{x}}_B$作點積，可得以下等式的左邊（注意轉置後點積的結果相同）

$({\hat{x}}_B{)}^T\sum \overrightarrow{F}=({\hat{x}}_B{)}^T(R_x{\hat{x}}_I+R_y{\hat{y}}_I-mg{\hat{y}}_I)=({\hat{x}}_B{)}^T(R_p{\hat{y}}_B-mg{\hat{y}}_I)=-mg\sin \theta$

上式中用到了在物體移動方向為準的反作用力分量，以及慣性座標下反作用力分量之間的關係。假設中有假設桿無質量，因此桿無法給予垂直桿子的力。慣性座標下的反作用力可以寫成$R_p{\hat{y}}_B$，強調桿只能提供和桿平行的力。因此會產生另外一個方程，可以求解桿上的張力

$R_p=\sqrt{R_x^2+R_y^2}$

等式的右邊也可以用將擺的力加速度和${\hat{x}}_B$點積的方式計算，結果（經過一些簡化）如下

$m({\hat{x}}_B{)}^T({\overrightarrow{a}}_{P/I})=m(\ddot{x}\cos \theta -\ell \ddot{\theta })$

合併左式及右式，並且除以m可得

$\ell \ddot{\theta }-g\sin \theta =\ddot{x}\cos \theta$

此結果也和拉格朗日方程的結果相同，使用牛頓運動定律的好處是知道所有的反作用力，可以確定擺和台車不會因為受力過大而損毀。

穩定台車倒單擺的方式

穩定台車倒單擺的方式，可以簡述為下三點。

台車和倒單擺的例子中，簡單的穩定控制系統

1. 若直桿往右傾斜，台車需要往右加速，反之亦然。
2. 台車相對軌道中心的位置$x$穩定的方式是是將null angle由台車的位置來進行調整，也就是null angle $=\theta +kx$，其中$k$是小的數值。因此桿會輕微的向軌道中心傾斜，若其角度恰好垂直的話，就會穩定在軌道中心。傾斜感測器或是軌道斜率的誤差（本來會造成不穩定的效應）都會變成穩定的位置偏移量，另外增加的偏移量則是為了位置控制。
3. 正常的擺單擺在角頻率為${\omega }_p=\sqrt{g/\ell }$時會共振。為了避免不受控的晃動，樞紐點需要抑制在共振頻率${\omega }_p$附近的頻率響應。倒單擺也需要類似的帶拒濾波器才能達到穩定。

由於null angle調整策略的結果，正回授的結果為正，若擺突然往右移動，會讓平台的初始速度往左，但之後會往右，以讓倒單擺重新平衡。擺的不穩定性以及正位置回授的不穩定性交互作用，以產生一個穩定的系統，這是倒單擺穩定問題的特徵，也是在數學分炘上有趣而有挑戰性的地方。

建構卡皮察擺的作法。馬達在高速時旋轉曲柄，曲柄使槓桿上下擺動，槓桿的末端連接倒單擺

卡皮察擺

倒單擺若在上下振動的平台上，有可能可以在不受控的情形下穩定，最早研究這種倒單擺的是俄國科學家彼得·列昂尼多维奇·卡皮察，因此這種擺也稱為卡皮察擺。在無質量垂直振盪平台上的擺，其運動方程推導方式類似台車上的單擺，點質點的位置為：

$(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta )$

一次微分後可以得到速度：

$v^2={\dot{y}}^2-2\ell \dot{y}\dot{\theta }\sin \theta +{\ell }^2{\dot{\theta }}^2.$

上下振動平台上倒單擺的圖，左圖是慢速振動下的響應，右圖是快速振動下的響應

系統的拉格朗日量如下：

$L=\frac{1}{2}m({\dot{y}}^2-2\ell \dot{y}\dot{\theta }\sin \theta +{\ell }^2{\dot{\theta }}^2)-mg(y+\ell \cos \theta )$

運動方程為：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}-\frac{\partial L}{\partial \theta }=0$

結果是：

$\ell \ddot{\theta }-\ddot{y}\sin \theta =g\sin \theta .$

若y的運動是簡諧運動$y=A\sin \omega t$，則其微分方程為：

$\ddot{\theta }-\frac{g}{\ell }\sin \theta =-\frac{A}{\ell }{\omega }^2\sin \omega t\sin \theta .$

此一方程沒有解析解，不過可以用不同方式來求解。若振幅很小時，可以用马丢函数來近似。分析結果是卡皮察擺在快速振盪時可以穩定。左圖是慢速振盪的圖，在慢速振盪下，單擺很快就倒下，其角度$\theta$很快就超過90°，表示單擺已倒下。右圖是快速振盪的圖，若$y$是快速振盪，擺可以穩定在直立狀態下。啟始時倒單擺是在直立狀態（$\theta =0$），但擺的角度始終不大，而且擺有倒下。

倒單擺的種類

平衡倒單擺是研究者常見的工程挑戰，有許多不同的變形，從台車上的倒單擺到台車上的多段倒擺（倒複擺）。另外一種變體是將倒單擺或是倒複擺放在旋轉元件的末端。若沒有外力平衡，這些倒擺都會倒下。計劃中的倒單擺可能是在找到平衡位置後要可以維持平衡，或是要可以自行達到平衡狀態。另外一個平台是兩輪平衡的倒單擺。兩輪的倒單擺可以旋轉，可以提供相當的操控性。另外一個變體是在單點上的平衡。陀螺、單輪腳踏車或是球上的倒單擺都是單點上平衡的例子。如上所述，若在垂直振盪的平面上，倒單擺也可以維持平衡。

倒單擺的例子

人就是平衡倒單擺的例子之一。站著的人就是倒單擺，其腳即為樞紐，若站著的人沒有肌肉持續的微幅施力調整，最後會跌倒。人的神經系統中有無意識的反馈控制系統、平衡感或Template:Le，用眼睛、肌肉及關節的本體感覺，以及由內耳中三個半规管組成前庭系统所得的方向輸入、或是利用耳石的輸入，持續的對骨骼肌小幅調整施力，以維持直立。走路、跑步或是單腳站立都需要此系統的調節。有些疾病、酒精或是藥物中毒會影響此一反射，造成頭暈或無法自行站立平衡。警察在測試駕駛者是否有受到酒精或是藥物影響的Template:Le就是確認此反射是否有問題。

像用手平衡直立在手上的掃把或是直尺，也是倒單擺的例子。

有許多的設備中有用到倒單擺，倒單擺的平衡也是研究者探討的工程問題之一。倒單擺本身不穩定的特性，略有一些擾動，就會有明顯的響應，因此也是早期地震儀中的關鍵元件之一。

很多現代的Template:Le中也有用到倒單擺的概念，例如二輪的自平衡滑行车以及單輪的Template:Le。這些設備有動力學不穩定的特性，需要透過電子回授配合伺服機構使其直立。

讓台車上的單擺由單擺往下的穩定狀態，擺動到倒單擺的狀態，是最佳控制的典型玩具問題之一

台車單擺系統，由單擺往下的穩定狀態，擺動到倒單擺的狀態，力平方值最小化的軌跡

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參考資料

• D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) pp. 89ff

延伸閱讀

• Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. Template:ISBN

外部連結

• YouTube - Inverted Pendulum - Demo #3 Template:Wayback
• YouTube - inverted pendulum Template:Wayback
• YouTube - Double Pendulum on a Cart Template:Wayback
• YouTube - Triple Pendulum on a Cart Template:Wayback
• A dynamical simulation of an inverse pendulum on an oscillatory base Template:Wayback
• Inverted Pendulum: Analysis, Design, and Implementation
• Non-Linear Swing-Up and Stabilizing Control of an Inverted Pendulum System Template:Wayback
• Stabilization fuzzy control of inverted pendulum systemsTemplate:Dead link
• Blog post on inverted pendulum, with Python code Template:Wayback
• Equations of Motion for the Cart and Pole Control Task Template:Wayback