交替方向隐式法

数值分析中，交替方向隐式法（Alternating direction implicit method）是有限差分法的一种，用于求解抛物线型偏微分方程或椭圆型偏微分方程。特别适用于求解二维及更高维度的热传导方程与扩散方程。

求解热传导方程在传统上使用Crank-Nicolson方法，该方法较为耗时。ADI的优点在于，每一迭代步中，所求解的方程具有更为简单的结构，因此更易于求解。

方法

考虑二维扩散方程,

$\frac{\partial u}{\partial t}=(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2})=(u_{xx}+u_{yy})$

隐式Crank-Nicolson方法将给出以下有限差分方程：

$\frac{u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^n}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{1}{2}({\delta }_x^2+{\delta }_y^2)(u_{ij}^{n+1}+u_{ij}^n)$

其中，${\delta }_p$是关于坐标方向p上的中心差分算符。通过稳定性分析可以证明该方法对于任意$\mathrm{\Delta }t$都表现稳定。

但是，Crank-Nicolson方法的缺点在于，上述方程中的带状矩阵分布过宽，这使得求解方程相当耗时。

ADI方法的思想在于将一个有限差分方程分割为两个，一个在x方向上隐式求导，另一个在y方向上隐式求导。

$\frac{u_{ij}^{n+1/2}-u_{ij}^n}{\mathrm{\Delta }t/2}=({\delta }_x^2{u}_{ij}^{n+1/2}+{\delta }_y^2{u}_{ij}^n)$

$\frac{u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n+1/2}}{\mathrm{\Delta }t/2}=({\delta }_x^2{u}_{ij}^{n+1/2}+{\delta }_y^2{u}_{ij}^{n+1}).$

这样，该方程系统涉及一个对称阵和一个三角矩阵，可以用三对角阵的求解算法进行计算。

可以证明，二维条件下该方法无条件稳定。

在此基础上扩展有更多的ADI方法，如Douglas，f-factor方法，可用于求解三维及更高维的问题。