乒乓引理

群論中，乒乓引理（ping-pong lemma）給出了一個充分條件，保證一個群中數個子群所生成的群是這些子群的自由積。

歷史

使用乒乓引理的論證法可以追溯至19世紀後期，通常認為是菲利克斯·克萊因最先使用，他研究克萊因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中，證明著名的蒂茨兩擇性（Tits alternative）結果，一個主要工具就是乒乓引理。這結果指出任何有限生成的線性群，或是一個逼肖可解群（virtually solvable group），或是包含一個秩2的自由子群。乒乓引理及其引申結果廣泛應用於幾何拓撲學及幾何群論。

定理敍述

設G為群，作用在集合X上，H₁和H₂是G的非平凡子群，H是H₁和H₂生成的群。若X有兩個不交非空子集X₁和X₂，使得

• 對所有$1\ne a\in H_1$，都有$a(X_2)\subset X_1$
• 對所有$1\ne b\in H_2$，都有$b(X_1)\subset X_2$

則H是H₁和H₂的自由積，即$H=H_1*H_2$，或者$\left|H_1\right|=\left|H_2\right|=2$，而H是二面體群。

證明

設w是用H₁和H₂的元素寫出的非空簡約字。若$w=a_1{b}_1{a}_2{b}_2\cdots a_k$，其中$a_i\in H_1\setminus \{1\}$，$b_i\in H_2\setminus \{1\}$，則

$\begin{array}{cc}w(X_2)& =a_1{b}_1\cdots a_{k-1}{b}_{k-1}{a}_k(X_2)\\ & \subset a_1{b}_1\cdots a_{k-1}{b}_{k-1}(X_1)\\ & \subset a_1{b}_1\cdots a_{k-1}(X_2)\\ & \subset \cdots \subset X_1\end{array}$

故$w\ne 1$。同上得$w=b_1{a}_2{b}_2{a}_3\cdots b_k\ne 1$。

若H₁和H₂的階不都等於2，不失一般性，假設$\left|H_1\right|>2$。若$w=a_1{b}_1{a}_2{b}_2\cdots b_k$，取$a\in H_1\setminus \{1,a_1^{-1}\}$，則$1\ne a{a}_1\in H_1$，故由上可知

$aw{a}^{-1}=a{a}_1{b}_1{a}_2{b}_2\cdots b_k{a}^{-1}\ne 1$，

得$w\ne 1$。若$w=b_1{a}_2{b}_2\cdots a_k$，取$a\in H_1\setminus \{1,a_k\}$，則$1\ne a_k{a}^{-1}\in H_1$，同上可得$aw{a}^{-1}\ne 1$，故$w\ne 1$。因此得出$H=H_1*H_2$。

若$\left|H_1\right|=\left|H_2\right|=2$，令$H_1=\{1,a\}$，$H_2=\{1,b\}$。從上可知若有以a, b寫出的非空簡約字w等於1，則w只可能是$ab\cdots ab$或$ba\cdots ba$，故對某些數n > 0有$(ab{)}^n=1$。取其最小者的值為n，則H為二面體群$D_{2n}$。若無如此簡約字w，則$H=H_1*H_2$。

推廣

乒乓引理可以推廣至數個子群的情形：

設G為群，作用在集合X上。又設H₁, H₂, ... , H_k是G的非平凡子群，且當中至少一個的階不小於3。若X有兩兩不交的非空子集X₁, X₂, ... , X_k，使得當$i\ne j$時，對所有$1\ne a\in H_i$，都有$a(X_j)\subset X_i$。則H₁, H₂, ... , H_k所生成的群是其自由積，即

$⟨H_1,\cdots ,H_k⟩=H_1*H_2*\cdots *H_k$。

這條定理的證明與兩個子群時的證明類似。

應用例子

特殊線性群

矩陣$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$和$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$在特殊線性群$SL(2,\mathbb{Z})$中生成的子群是秩2的自由群。

證明

群$SL(2,\mathbb{Z})$以線性變換作用在平面${ℝ}^2$上。 設這兩個矩陣各自生成子群

$H_1=⟨\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)⟩=\{\left(\begin{array}{cc}1& 2n\\ 0& 1\end{array}\right)|n\in \mathbb{Z}\}$

$H_2=⟨\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)⟩=\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2n& 1\end{array}\right)|n\in \mathbb{Z}\}$

又設平面的兩個不交子集為

$X_1=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {ℝ}^2:|x|>|y|\}$

$X_2=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {ℝ}^2:|x|<|y|\}$

H₁, H₂都同構於無限循環群。因為H₁, H₂, X₁, X₂適合乒乓引理的條件，由乒乓引理得出H₁, H₂生成的群為其自由積，而兩個無限循環群的自由積為秩2的自由群。

參考

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