自由積

在數學的群論中，自由積（Template:Lang-en，Template:Lang-fr）是從兩個以上的群構造出一個群的一種操作。兩個群G和H的自由積，是一個新的群G ∗ H。這個群包含G和H為子群，由G和H的元素生成，並且是有以上性質的群之中「最一般」的。自由積一定是無限群，除非G和H其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群）相似。

自由積是群範疇中的餘積。

建構方式

若G和H是群，以G和H形成的字是以下形式的乘積：

$s_1{s}_2\cdots s_n,$

其中s_i是G或H的元。這種字可以用以下的操作簡化：

• 除去其中的（G或H的）單位元，
• 將其中的g₁g₂一對元素以其在G中的積代替，將其中的h₁h₂一對元素以其在H中的積代替。

每個簡約字都是G的元素和H的元素交替的積，例如：

$g_1{h}_1{g}_2{h}_2\cdots g_k{h}_k.$

自由積G ∗ H的元素是以G和H形成的簡約字，其上的運算是將兩字接合後簡化。

例如若G是無窮循環群<x>，H是無窮循環群<y>，則G ∗ H的元素是x的冪和y的冪交替的積。此時G ∗ H同構於以x和y生成的自由群。

設$(G_i{)}_{i\in I}$是群的一個族。用$G_i$形成的字，也可以用上述操作簡化為簡約字。仿上可定義出$G_i$的自由積${*}_{i\in I}{G}_i$。

展示

設

$G=⟨S_G\mid R_G⟩$

是G的一個展示（S_G是生成元的集合，R_G是關係元的集合），又設

$H=⟨S_H\mid R_H⟩$

是H的一個展示。那麼

$G*H=⟨S_G\cup S_H\mid R_G\cup R_H⟩.$

即是G ∗ H是G的生成元和H的生成元所生成，而其關係是G的關係元和H的關係元所組成。（兩者都是不交併。）

性質

• 將$G_{i_0}$自然地映射到${*}_{i\in I}{G}_i$的群同態是內射，故此這個群同態將$G_{i_0}$嵌入到${*}_{i\in I}{G}_i$中為子群。

泛性質

自由積亦可由以下泛性質定義：設G是群，$(G_i{)}_{i\in I}$是由群組成的一個族，有一族群同態$({\varphi }_i:G_i\to G{)}_{i\in I}$。那麼存在唯一的群同態$\varphi :{*}_{i\in I}{G}_i\to G$，使得對所有$i_0\in I$都有

${\varphi }_{i_0}=\varphi \circ {\iota }_{i_0}$

其中${\iota }_{i_0}:G_{i_0}\to {*}_{i\in I}{G}_i$是把$G_{i_0}$嵌入到${*}_{i\in I}{G}_i$中的群同態。

共合積

共合積（Template:Lang-en或Template:Lang，Template:Lang-fr）是自由積的推廣。設G和H是群，又設F是另一個群，並有群同態

$\varphi :F\to G$ 及 $\psi :F\to H$

對F中所有元素f，在自由積G ∗ H中加入關係

$\varphi (f){\psi }^{-1}(f)=e$

便得出其共合積。換言之，在G ∗ H中取最小的正規子群N，使得上式左方的元素都包含在內，則商群

$(G*H)/N$

就是共合積$G{*}_{F}H$。

共合積可視為在群範疇中圖表$G\leftarrow F\to H$的推出。

塞弗特－范坎彭定理指，兩個路徑連通的拓撲空間沿著一個路徑連通子空間接合的併，其基本群是這兩個拓撲空間的基本群的共合積。

共合積及與之相近的HNN擴張，是討論在樹上作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。

參考

• Template:Planetmath reference
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