下限拓扑

數學上，下限拓撲是定義在實數集 $ℝ$ 上的拓撲。其不同於 $ℝ$ 上的標準拓撲（由開區間生成），且具有若干有趣的性質。其為全體半開區間 [a,b) 組成的基生成的拓撲，其中 a 和 b 取遍任意實數。

這樣得到的拓撲空間稱為Sorgenfrey直線（得名自 Template:Link-en）或箭頭，有時記為 ${ℝ}_l$. 與康托集和長直線類似，Sorgenfrey 直線也經常作為點集拓撲學中不少似是而非的命題的反例。

${ℝ}_l$ 與自身的積也是有用的反例，稱為Sorgenfrey平面。

類似地，可以定義 $ℝ$ 上的上限拓撲，其性質與下限拓撲完全相同。

性質

• 下限拓撲比實數集的標準拓撲更精細（具有更多開集）。原因是每個開區間都可寫成半開區間的可數並，故在下限拓撲中也是開集。
• 對任意實數 $a$ 和 $b$, 區間 $[a,b)$ 都是 ${ℝ}_l$ 的闭开集（既是开集，也是闭集）。而且，對任意實數 $a$, 集合 $\{x\in ℝ:x<a\}$ 和 $\{x\in ℝ:x\ge a\}$ 皆為閉開集。故 ${ℝ}_l$ 為完全不连通空间。
• ${ℝ}_l$ 的緊子集只能是可數集（允許是有限集）。要證明此結論，考慮非空緊集 $C\subseteq {ℝ}_l$. 取定 $x\in C$, 考慮 $C$ 的開覆蓋：

$\{[x,+\mathrm{\infty })\}\cup \left\{\right(-\mathrm{\infty },x-\frac{1}{n}\left)\right|n\in \mathbb{N}\}.$

由於 $C$ 為緊，此開覆蓋具有有限子覆蓋，故存在實數 $a(x)$ 使得區間 $(a(x),x]$ 不含 $C$ 除 $x$ 以外的點。這對任意 $x\in C$ 為真。現選取有理數 $q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb{Q}$. 對不同的 $x\in C$, 區間 $(a(x),x]$ 兩兩不交，故函數 $q:C\to \mathbb{Q}$ 為單射，故 $C$ 至多可數。

• 「下限拓撲」得名自以下性質：${ℝ}_l$ 中的序列（或網）$(x_{\alpha })$ 收斂到 $L$ 当且仅当其「從右接近 $L$」，即對任意的 $ϵ>0$ ，均存在下標 ${\alpha }_0$ 使得 $\mathrm{\forall }\alpha \ge {\alpha }_0:L\le x_{\alpha }<L+ϵ$. ${ℝ}_l$ 因此可用於研究單側極限：對函數 $f:ℝ\to ℝ$, $f$ 於 $x$ 之右極限（假定陪域具有標準拓撲），等於定義域在下限拓撲下 $f$ 於 $x$ 之一般極限。
• 就分离公理而言， ${ℝ}_l$ 是完美正规豪斯多夫空間（T₆ 空間）。
• 就可數性公理而言， ${ℝ}_l$ 是第一可數空間和可分空间，但並非第二可數空間。
• 就緊緻性而言，${ℝ}_l$ 是林德勒夫空間和仿紧空间，但並非Template:Link-en，也不是局部紧空間。
• ${ℝ}_l$ 不可度量化，因為可分的度量空間必為第二可數。然而，${ℝ}_l$ 的拓撲是由一個預度量給出。
• ${ℝ}_l$ 是一個贝尔空间 。

參考資料

• Template:Citation