三角平方數

Template:Expand 三角平方數是既是三角形數，又是平方數的數。三角平方數有無限個，可以由以下公式求得：

$N_k=\frac{1}{32}{[{(1+\sqrt{2})}^{2k}-{(1-\sqrt{2})}^{2k}]}^2$

找尋三角平方數的問題可用以下方法簡化成佩爾方程。每個平方數的形式為$m^2$，三角形數的則為$\frac{n(n-1)}{2}$。於是求n, m使得：

$\frac{n(n-1)}{2}=m^2$

$n(n-1)=2m^2$

$n^2-n+\frac{1}{4}=2m^2+\frac{1}{4}$

$4n^2-4n+1=8m^2+1$

$(2n-1{)}^2=8m^2+1$

設$k=2n-1$，$p=2m$，代入之，得方程$k^2=2p^2+1$。

第$k$個三角平方數$N$等於第$s$個平方數及第$t$個三角形數，它們的關係為

$s(N)=\sqrt{N}$

$t(N)=\lfloor \sqrt{2N}\rfloor$

$t$可以由下面的方式得出：

$t(N_k)=\frac{1}{4}\{{[{(1+\sqrt{2})}^k+{(1-\sqrt{2})}^k]}^2-{[1+(-1{)}^k]}^2\}$

$N$亦可用遞歸的方式求得：

$N_0=0$

$N_1=1$

$N_k=34N_{k-1}-N_{k-2}+2$

當$k$越大，$\frac{t}{s}$就會趨近$\sqrt{2}$：

$\begin{array}{cccc}N=1& s=1& t=1& \frac{t}{s}=1\\ N=36& s=6& t=8& \frac{t}{s}=1.3333333\\ N=1225& s=35& t=49& \frac{t}{s}=1.4\\ N=41616& s=204& t=288& \frac{t}{s}=1.4117647\\ N=1,413,721& s=1189& t=1681& \frac{t}{s}=1.4137931\\ N=48,024,900& s=6930& t=9800& \frac{t}{s}=1.4141414\\ N=1,631,432,881& s=40391& t=57121& \frac{t}{s}=1.4142011\end{array}$

它們實際上是「為偶數的佩爾數」的一半再平方的值。

相關問題

大衛·蓋爾曾提出一條問題：求對於哪些n，使得1,2,3,4...,n這個數列中，存在一個數s，在s之前的數之和跟在s之後的數之和相等。例如1,2,3,...,8中，6就是這樣的一個數，1+2+3+4+5=7+8

解答： 根據題意列方程，得到s(s-1)/2 = (s+n+1)(n-s)/2 s² = n(n+1)/2

當第n個三角形數是平方數時，就符合題目的條件。（參考：Puzzles Column of The Emissary (Fall2005)）

參考

• Triangular numbers that are also squareTemplate:Wayback From Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.