三等分角

三等分角无法按照尺规作图的规定作出，但如果借助另外的工具或放宽尺规作图的限制，三等分角是可行的

三等分角是古希臘平面几何里尺規作圖领域中的著名问题，與化圓為方及倍立方問題並列為尺规作图三大難題。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是：“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？”

三等分角问题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案 。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家Template:Link-en首先利用伽罗瓦理论证明，這個問題的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，汪策尔研究了给定单位长度後，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而汪策尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。

如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，三等分任意角是可能的。然而，作为数学问题本身，由于三等分角问题表述简单，而证明困难，并用到了高等的数学方法，在已被證明不可能实现后，仍然有许多人尝试给出肯定的证明。

背景简介

尺规作图法

Template:Main 在叙述三等分问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是：

直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。

圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。

定义了直尺和圆规的特性後，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法：

• 通過兩個已知點，作一直線。
• 已知圓心和半徑，作一個圓。
• 若兩已知直線相交，确定其交點。
• 若已知直線和一已知圓相交，确定其交點。
• 若兩已知圓相交，确定其交點。

尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”等等。

问题叙述

三等分角问题的完整叙述是Template:R： Template:Cquote 关于这个叙述中的用词和术语，需要一一作出定义。“角”可以有两种等价的定义：一个角可以是由一点和从它出发的两条射线构成的集合，也可以是由三点和连接它们的两条线段构成的集合。以下的叙述中采取第二个定义，用三个大写英文字母或一个希腊字母表示一个角。角Template:Math指的是由三点Template:Math以及线段Template:Math和Template:Math构成的集合，也可以直接用一个希腊字母如Template:Math表示。两个角Template:Math和Template:Math相等，指的是以下条件：如果将线段Template:Math沿点Template:Math延长为射线，在上面作一点Template:Math使得Template:Math $=$ Template:Math，同时将线段Template:Math沿点Template:Math延长为射线，在上面作一点Template:Math使得Template:Math $=$ Template:Math，则Template:Math $=$ Template:Math。

一个角Template:Math等于另一个角Template:Math的三分之一，指的是角Template:Math等于角Template:Math的三倍。而一个角Template:Math等于角Template:Math的Template:Math倍（Template:Math为自然数），指的是可以找到点Template:Math等，使得Template:Math个角Template:Math都等于Template:Math，并且点Template:Math就是点Template:Math。

二等分角问题

尺规二等分任意角度的过程

与三等分角问题相比，用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤，也能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪，随着群论和伽罗瓦理论的出现，数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中，更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道，尺规作图的方法不但不能三等分任意角，也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。

不可能性的證明

Template:Main 1837年，法國數學家汪策爾證明了，三等分角問題是沒有辦法完成的Template:R。

三等分角問題提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾(全名:尼爾斯·阿貝爾)開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。

尺规可作性和规矩数

在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点Template:Math和Template:Math，以Template:Math为单位长度，射线Template:Math为Template:Math-轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于${ℝ}^2$。

设Template:Math是${ℝ}^2$的一个非空子集。如果某直线$𝓁$经过Template:Math中不同的两点，就说$𝓁$是Template:Math-尺规可作的，简称Template:Math-可作。同样地，如果某个圆$𝒞$的圆心和圆上的某个点是Template:Math中的元素，就说$𝒞$是Template:Math-可作的。进一步地说，如果${ℝ}^2$里的某个点Template:Math是某两个Template:Math-可作的直线或圆的交点（直线－直线、直线－圆以及圆－圆），就说点Template:Math是Template:Math-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的，包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有Template:Math-尺规可作的点的集合记作Template:Math，那么当Template:Math中包含超过两个点的时候，Template:Math肯定是Template:Math的真子集。从某个点集Template:Math开始，经过一步能作出的点构成集合Template:Math $=$ Template:Math，经过两步能作出的点就是Template:Math $=$ Template:Math，……以此类推，经过Template:Math步能作出的点集就是Template:Math $=$ Template:Math。而所有从Template:Math能尺规作出的点集就是：

$C({\mathrm{E}}_0)=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{\mathrm{E}}_n$。Template:R

另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设Template:Math是从集合Template:Math $=$ {(0,0), (0,1)}开始，尺规可作点的集合：Template:Math $=$ Template:Math，那么规矩数定义为Template:Math中的点的横坐标和纵坐标表示的数。

定义：实数Template:Math和Template:Math是规矩数当且仅当Template:Math是Template:Math中的一个点。Template:R

可以证明，有理数集$\mathbb{Q}$是所有规矩数构成的集合Template:Math的子集，而Template:Math又是实数集$ℝ$的子集。另外，为了在复数集$ℂ$内讨论问题，也会将平面${ℝ}^2$看作复平面$ℂ$，同时定义一个复数Template:Math是（复）规矩数当且仅当点Template:Math是Template:Math中的一个点。所有复规矩数构成的集合Template:Math也包含$\mathbb{Q}$作为子集，并且是复数集$ℂ$的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数，三等分角问题从几何问题转成了代数的问题。Template:R

域的扩张与最小多项式

Template:Main 以集合的观念来说，Template:Math与$\mathbb{Q}$、$ℂ$之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明Template:Math是有理数域$\mathbb{Q}$的扩域，是实数域$ℂ$的子域。记作$\mathbb{Q}\subseteq \mathrm{L}\subseteq ℂ$。域是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线Template:Math（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数Template:Math），那么也能做出任意Template:Math的点，甚至于任何形如：

$\frac{P_1(z)}{P_2(z)}$

的点（其中Template:Math和Template:Math是两个多项式）。有理数域$\mathbb{Q}$和所有因为Template:Math而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域，称为$\mathbb{Q}$关于Template:Math的扩张，记作$\mathbb{Q}(z)$。然而，$\mathbb{Q}(z)$中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说，如果有一个多项式Template:Math使得Template:Math=0，那么$\mathbb{Q}(z)$中的元素都可以写成Template:Math的形式，其中Template:Math是Template:Math的阶数。这样的情况称为域$\mathbb{Q}$的有限扩张，因为$\mathbb{Q}(z)$可以看成关于$\mathbb{Q}$的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数，需要为它找一个基底，也就是一个线性无关的最小生成集。为此，寻找使得Template:Math $=$ 0的多项式中阶数最小的，并称Template:Math是Template:Math最小多项式。在最小多项式确定后，便可确定Template:Math是$\mathbb{Q}(z)$的一个基底，$\mathbb{Q}(z)$是一个Template:Math维的$\mathbb{Q}$-线性空间（Template:Math是Template:Math的阶数）Template:R。这时候也称Template:Math是域扩张$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(z)$的阶数，记作：

$[\mathbb{Q}(z):\mathbb{Q}]={\mathrm{d}}_m$Template:R

规矩扩张的阶数

对任何一个尺规可作点，都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的，而其中生成新点（也就是新坐标）的只有後三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻，已知的所有尺规可作点构成的域是Template:Math，那么生成新点时的直线和圆的系数都在Template:Math里面。

直线的方程是：$ax+by+c=0,a,b,c\in \mathrm{L},\cdots (1)$

圆的方程是：$(x-c_1{)}^2+(y-c_2{)}^2=r^2,c_1,c_2,r\in \mathrm{L}.\cdots (2)$

无论是两个(1)类方程，两个(2)类方程，还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解，得到的Template:Math和Template:Math值都会是形同

$\{\begin{array}{cc}x=p_1+q_1\sqrt{t}& p_1,q_1,t\in \mathrm{L}\\ y=p_2+q_2\sqrt{t}& p_2,q_2\in \mathrm{L}\end{array}$

的数值。所以复规矩数Template:Math $=$ Template:Math满足一个二次方程：

$(z-(p_1+p_{2}i){)}^2=t(q_1+q_{2}i{)}^2$

其中的Template:Math、Template:Math以及Template:Math都是Template:Math中的元素Template:R。这意味着，域扩张Template:Math的阶数最多是2（最小多项式的阶数至多是2）。这又说明，从Template:Math开始，经过一系列（Template:Math次）基本步骤得到的尺规可作点，代表了Template:Math次域扩张：

$\mathrm{L}\subseteq {\mathrm{L}}_1\subseteq \cdots \subseteq {\mathrm{L}}_n$。

而每次域扩张的阶数：Template:Math都不超过2。因此，如果从基本的有理数域出发的话，就能得到如下的定理：Template:R Template:Squote 其中的Template:Math是某个小于Template:Math的自然数（Template:Math是已知所有有理数坐标点时，作出Template:Math对应的点要经过的基本步骤数目）。

三等分角的反证

上文已经说明，任何可以用尺規作圖作出的点，其座標对应一个复規矩數，它的最小多項式次數為$2^s$。以下用反证法证明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是$\theta$的角，均可以由尺規作圖得到 角度为$\frac{\theta }{3}$的角。这等价于说在已知单位长度和$\cos \theta$的时候能做出$\cos \frac{\theta }{3}$的长度。设Template:Math是包含了$\cos \theta$和单位长度1的域。用尺规作图可以得到$z=\cos \frac{\theta }{3}$，说明域扩张的阶数是2的幂次：

$[\mathrm{L}(z):\mathrm{L}]=2^s$

然而根據三倍角公式：

$\cos \theta =4{\cos }^3\frac{\theta }{3}-3\cos \frac{\theta }{3}=4z^3-3z$。

运用多项式的知识可以证明，$z$在Template:Math中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3Template:R。比如说当角度$\theta =60^{\circ }$时，Template:Math就是$\mathbb{Q}$（$\cos \theta =\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$）三倍角公式变成：

$4z^3-3z=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，即是：

$8z^3-6z-1=0$

这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集$\mathbb{Q}$，所以可以证明$[\mathbb{Q}(z):\mathbb{Q}]=3$。然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，無法用尺規作圖將任意角三等分Template:R。$◻$

能够尺规三等分的角度

以上的证明通过一个反例：$\theta =60^{\circ }$说明了用尺规作图将任意角三等分是不可能的。但用尺规作图三等分某些特定的角（比如说直角）仍然是可行的。事实上，从证明中可以看出，尺规三等分某个角$\theta$等价于说$[\mathrm{L}(\cos \frac{\theta }{3}):\mathrm{L}]=1$Template:R。要注意的是，这个条件与$\cos \theta$本身能否用尺规作图作出并不相关。实际上，有的角度$\theta$即便本身无法用尺规作图法作出，但如果已知角$\theta$作为条件，是能够用尺规作图将它三等分的。角度$3\pi /7$就是这样一个例子。它本身无法用尺规作出，但如果给定一个$3\pi /7$的角，它的五倍角就是$15\pi /7$，等于将圆周绕过一圈後的$\pi /7$，这正是$3\pi /7$的三分之一。可以证明，角度$2\pi /N$可以用尺规三等分，当且仅当自然数Template:Math本身无法被三整除。

从证明中还可看出，只要自然数Template:Math只含有2以外的质因子，根据Template:Math倍角公式得到的Template:Math阶多项式就说明$\cos \frac{\theta }{k}$的最小多项式阶数整除Template:Math，所以不是2的幂次，从而无法用尺规作图Template:Math等分任意角。例如用尺规作图五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（$2\pi /N$可以五等分，當且僅當Template:Math不是5的倍數；而不管Template:Math是多少，$2\pi /N$都不能七等分，因為正七邊形本身就不能尺規作圖了）。

三等分角的方法

用尺规作图的方法三等分角被证明是不可行的。如果放宽尺规作图的限制，或允许使用另外的工具，那么三等分任意角仍旧是可能的。

无限次步骤

尺规作图要求在有限次步骤内将任意角三等分。如果我们允许使用无限次的步骤来构造三等分角的话，可以利用

$\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\cdots$

这个无穷级数的和来实现。给定任意一的角度为$\theta$的角。已知尺规二等分角是可行的，所以重复两次就能够四等分一个角$\theta$，得到$\frac{\theta }{4}$。同样地，可以作出$\frac{\theta }{4^2}$、$\frac{\theta }{4^3}$等所有形同$\frac{\theta }{4^n}$的角。将它们逐次相加，就能够在无限次（可数次）操作後用尺规作图得到

$\frac{\theta }{4}+\frac{\theta }{4^2}+\frac{\theta }{4^3}+\cdots =\frac{\theta }{3}$。

二刻尺

创建缩略图出错：

把角Template:Math三等分

如果允许使用有刻度的直尺（二刻尺），则三等分任意角是可行的。右图为把角Template:Math三等分的示意图。这个想法最早由阿基米德提出Template:R。

首先，在直尺上有两个刻度，相距Template:Math。把角上的直线延长，并作一个半径为Template:Math的圆。

把直尺的一点固定在Template:Math，并将直尺绕着点Template:Math移动，直到其中一个刻度位于点Template:Math，另一个刻度位于点Template:Math，也就是说，Template:Math $=$ Template:Math。这时，角Template:Math就是角Template:Math的三分之一。

要證明$a=3b$，我們需要利用直線上的鄰角(adjacent angles on straight line)，三角形的內角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。

证明：

1. $e+c=180^{\circ }$。
2. $e+2b=180^{\circ }$。
3. 两式相减，得$c=2b$。
4. $d+2c=180^{\circ }$，因此$d=180^{\circ }-2c$，把上式代入，得$d=180^{\circ }-4b$。
5. $a+d+b=180^{\circ }$，因此$a+(180^{\circ }-4b)+b=180^{\circ }$。

所以，$a-3b=0$，或$a=3b$。证毕。Template:R

或者，可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作證明。

$b+b=c$

$b+c=a$

$\Rightarrow b+2b=a$

$\Rightarrow a=3b$

同樣也可證明。

借助其他形状或工具

尺规作图的规定来自于古希腊的柏拉图学派，他们认为仅有直线和圆是完美的形状。事实上，如果允许在作图中使用其他的曲线或形状，那么三等分任意角是可行的。例如：已知角Template:Math，做其角平分线Template:Math。以直线Template:Math为准线，点Template:Math为焦点，作一双曲线；同时以Template:Math为圆心，Template:Math为半径做圆。设该圆与双曲线在角Template:Math内侧的交点为Template:Math，那么角Template:Math等于角Template:Math的三分之一。此外，麦克劳林、利马松等人也曾经设计过可以辅助三等分角的曲线。阿基米德螺线（等角螺线）也是能够直观帮助三等分角的曲线。在极坐标中，阿基米德螺线的方程是：

$\rho =c\theta$

其中的$\rho$是极径（离原点的距离），$\theta$是幅角。由于极径和幅角成正比，所以要寻找等于给定角度三分之一的角度，只需要确定原角度对应的极径长度${\rho }_0$，然后对比找出$\frac{{\rho }_0}{3}$对应的角度即可。Template:R

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外部链接

• HPM 通訊第6卷第6期，3大作圖題Template:Wayback 介紹在較寬鬆的條件下（允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線）用尺規作圖，來求解三等分角問題。
• 三等分任意角可能嗎？Template:Wayback