莫雷角三分線定理

在欧几里得幾何中，莫雷角三分線定理（Morley's theorem）說明對所有的三角形，其三個内角作角三分線，靠近公共边三分線的三個交點，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克·莫雷在1899年發現。对外角作外角三分線，也會有类似的性质，可以再作出4個等邊三角形。

此定理沒辦法用尺規作圖作出其等邊三角形，因為已經證明出尺規作圖無法作出三等分角。

證明

引理

由三倍角公式及和差公式可得出：

$\sin 3\theta \equiv 4\sin \theta \sin (60^{\circ }+\theta )\sin (120^{\circ }+\theta )$

引理證明

$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$

$=\sin \theta (3-4{\sin }^2\theta )=\sin \theta (3{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )$

$=\sin \theta (\sqrt{3}\cos \theta +\sin \theta )(\sqrt{3}\cos \theta -\sin \theta )$

$=4\sin \theta (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta )(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta -\frac{1}{2}\sin \theta )$

$=4\sin \theta \sin (60^{\circ }+\theta )\sin (120^{\circ }+\theta )$

莫雷角三分線定理證明

定理證明

在$\mathrm{△}ABC$中：

$\alpha$是$\mathrm{\angle }A$的三等分角

$\beta$是$\mathrm{\angle }B$的三等分角

$\gamma$是$\mathrm{\angle }C$的三等分角

作6條角三分線分別為$\overline{BX}$、$\overline{XC}$、$\overline{CY}$、$\overline{YA}$、$\overline{AZ}$、$\overline{ZB}$，作$D$、$E$、$F$在$\overline{BC}$上，且$\overline{BC}\mathrm{\perp }\overline{XD}$、$\mathrm{\angle }BXE=\mathrm{\angle }CXF=60^{\circ }$

容易得出$\alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }$，由此等式還可以得出以下三式：

$\mathrm{\angle }BXC=120^{\circ }+\alpha$

$\mathrm{\angle }CYA=120^{\circ }+\beta$

$\mathrm{\angle }AZB=120^{\circ }+\gamma$

由正弦定理可得出：

$\sin (120^{\circ }+\beta )=\frac{\overline{AC}\sin \gamma }{\overline{AY}}$

$\sin (120^{\circ }+\gamma )=\frac{\overline{AB}\sin \beta }{\overline{AZ}}$

從這裡可以得出$\mathrm{△}XEF$的三個內角，計算出$\mathrm{\angle }XEF$和$\mathrm{\angle }XFE$的正弦值：

$\mathrm{\angle }EXF=\alpha$

$\mathrm{\angle }XEF=60^{\circ }+\beta \Rightarrow \sin (60^{\circ }+\beta )=\frac{\overline{XD}}{\overline{XE}}$

$\mathrm{\angle }XFE=60^{\circ }+\gamma \Rightarrow \sin (60^{\circ }+\gamma )=\frac{\overline{XD}}{\overline{XF}}$

我們知道：

$\overline{AB}\sin 3\beta =\overline{AC}\sin 3\gamma$

從引理我們可以得出：

$\overline{AB}4\sin \beta \sin (60^{\circ }+\beta )\sin (120^{\circ }+\beta )=\overline{AC}4\sin \gamma \sin (60^{\circ }+\gamma )\sin (120^{\circ }+\gamma )$

$\overline{AB}\sin \beta \frac{\overline{XD}}{\overline{XE}}\frac{\overline{AC}\sin \gamma }{\overline{AY}}=\overline{AC}\sin \gamma \frac{\overline{XD}}{\overline{XF}}\frac{\overline{AB}\sin \beta }{\overline{AZ}}$

化簡後得出：

$\frac{\overline{XE}}{\overline{XF}}=\frac{\overline{AZ}}{\overline{AY}}\Rightarrow \mathrm{△}XEF\approx \mathrm{△}AZY$

因為$\mathrm{△}XEF$和$\mathrm{△}AYZ$相似，所以可得出：

$\mathrm{\angle }AZY=\mathrm{\angle }XEF=60^{\circ }+\beta$

$\mathrm{\angle }AYZ=\mathrm{\angle }XFE=60^{\circ }+\gamma$

同理可得出：

$\mathrm{\angle }BZX=60^{\circ }+\alpha$

$\mathrm{\angle }CYX=60^{\circ }+\alpha$

綜合以上結果，可得出$\mathrm{\angle }XZY=\mathrm{\angle }XYZ=60^{\circ }$，因此$\mathrm{△}XYZ$是等邊三角形

推廣

更一般的莫雷角三分線定理由Taylor和Marr於1914年發表，將6條角三分線順時鐘和逆時鐘旋轉120°，其交點共可得出27個不同的等邊三角形。

參見

• 三等分角
• 三角恆等式

參考資料

• Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 253-256, 1929.
• Morley's Miracle — Several proofs of Morley's theorem Template:Wayback
• Morleys Theorem Template:Wayback MathWorld
• Morley's Trisection Theorem MathPages