一阶常微分方程

一阶常微分方程是数学中常见而基础的一类微分方程，通常写成如下的形式：

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=f(x(t),t)$

其中的Template:Mvar是要解的未知函数，Template:Mvar是函数的自变量，Template:Mvar是一个已知的连续函数。

一阶常微分方程在物理学、生物学、化学以及各种自然与社会科学都能见到，是常见的数学模型的重要构成部分。

一阶线性微分方程

Template:Main 一阶线性微分方程是一阶常微分方程中基础的一类。通常写成如下形式：

$\mathrm{\forall }t\in I,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a(t)x(t)+b(t)$

其中Template:Mvar是方程的求解范围，一般是实数集的子集。Template:Mvar和Template:Mvar是已知的连续函数。如果Template:Mvar是零函数，则称此方程为齐次的，否则称其为非齐次的。

一阶齐次线性微分方程：

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a(t)x(t)$

的解函数构成一个一维实线性空间：

$S=\{x:t\mapsto c{e}^{{\int }^{t}a(u)\mathrm{d}u};c\in ℝ\}.$

一阶非齐次线性微分方程

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a(t)x(t)+b(t)$

的解函数构成一个一维实仿射空间：

$\begin{array}{cc}{S}^{\prime }& =\{x:t\mapsto (c+{\int }^{t}b(u)e^{-{\int }^{u}a(v)\mathrm{d}v}\mathrm{d}u)e^{{\int }^{t}a(u)\mathrm{d}u};c\in ℝ\}\\ & =S+x^{*},\end{array}$

其中

$x^{*}:t\mapsto e^{{\int }^{t}a(u)\mathrm{d}u}{\int }^{t}b(u)e^{-{\int }^{u}a(v)\mathrm{d}v}\mathrm{d}u={\int }^{t}b(u)e^{\underset{u}{\overset{t}{\int }}a(v)\mathrm{d}v}\mathrm{d}u$

是原微分方程的一个特解。

变量分离方程

如果一个一阶常微分方程能写成如下形式：

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a(t)b(x),$

则称其为变量分离方程。“变量分离”意为方程右端的部分可以分离成两个不同部分的乘积，其中一个只与自变量Template:Mvar相关，另一个则只与未知函数Template:Mvar相关。

变量分离函数可以变形为：

$\frac{\mathrm{d}x}{b(x)}=a(t)\mathrm{d}t$

的微分形式。将两端同时积分，可以得到：

${\int }^x\frac{1}{b(u)}\mathrm{d}u={\int }^{t}a(s)\mathrm{d}s+c$

这便是方程的通解。由于上述关系为隐函数关系，而不是$x=x(t)$的形式，称为隐式解。

不少一阶常微分方程可以通过变量变换转化为变量分离方程，从而求解。

恰当微分方程

将一个普通的一阶常微分方程转写为微分的形式：

$\mathrm{d}x=f(x,t)\mathrm{d}t$

将Template:Mvar和Template:Mvar视为变量平等看待，可以将其看作是对称的一阶微分方程：

$P(x,t)\mathrm{d}x+Q(x,t)\mathrm{d}t=0$

如果上述方程中的左侧恰好是某个二元函数的全微分：

$P(x,t)\mathrm{d}x+Q(x,t)\mathrm{d}t=\mathrm{d}U(x,t)=\frac{\partial U}{\partial x}(x,t)\mathrm{d}x+\frac{\partial U}{\partial t}(x,t)\mathrm{d}t,$

那么隐函数：

$U(x,t)=c$

就是原微分方程的解函数，其中的Template:Mvar可以是任意常数。具有这样性质的微分方程被称作恰当微分方程。要使得一个一阶常微分方程是恰当微分方程，其中的函数Template:Mvar和Template:Mvar必须一阶连续可微，并且满足以下的条件：

$\frac{\partial }{\partial t}P(x,t)=\frac{\partial }{\partial x}Q(x,t).$

而当以上条件满足时，也可以具体求出解函数的形式：

$U(x,t)={\int }^{x}P(u,t)\mathrm{d}u+\int [Q(x,s)-{\frac{\partial }{\partial t}{\int }^{x}P(u,t)\mathrm{d}u|}_{t=s}]\mathrm{d}s$

积分因子

如果方程

$P(x,t)\mathrm{d}x+Q(x,t)\mathrm{d}t=0$

中的函数Template:Mvar和Template:Mvar不满足上述的关系式，则为了将其转化为恰当微分方程，会探讨能否通过添加适当的函数Template:Mvar，使得：

$\mu (x,t)P(x,t)\mathrm{d}x+\mu (x,t)Q(x,t)\mathrm{d}t=\mathrm{d}U(x,t)$

这样的函数Template:Mvar称为方程的积分因子。可以证明，只要原方程有解函数存在，则积分因子也必然存在，而且不一定是唯一的。

解的存在性

Template:Main 很多情况下，需要讨论带有初值问题的一阶常微分方程，即：

$\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=f(x(t),t),x(t_0)=x_0.$

是否有解。

设Template:Mvar为一个完备的有限维赋范向量空间，Template:Mvar为Template:Mvar中的一个开集，Template:Mvar是$ℝ$中的一个区间。函数Template:Mvar是从Template:Mvar×Template:Mvar映射到Template:Mvar中的连续函数。柯西-利普希茨定理说明了，若函数Template:Mvar在Template:Mvar中满足利普希茨条件，也就是说，

$\mathrm{\exists }\kappa >0,\mathrm{\forall }t\in I,\mathrm{\forall }x,y\in U,|f(x,t)-f(y,t)|\le \kappa |x-y|$

那么对于给定的初始条件：$x(t_0)=x_0$，$t_0\in I$、$x_0\in U$，微分方程存在一个解$(J,x(t))$，其中$J\subset I$是一个包含$t_0$的区间，$x(t)$是一个从 $J$映射到$U$的连续函数，满足初始条件和原微分方程。同时，满足初值条件的最大解唯一存在。

参考来源

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