真凸函数

在数学分析， 特别是凸分析与最优化中， 凸函数 f 在扩展实数线上的取值若满足存在 x 使得

$f(x)<+\mathrm{\infty }$

同时对所有 x 满足

$f(x)>-\mathrm{\infty }$

称被称作真凸函数。 这意味着，若凸函数为“真”， 则其有效域非空，值不为 $-\mathrm{\infty }$.。

不满足真条件的凸函数被称作“非真凸函数”。

若函数 g 的负函数 $f=-g$ 为真凸函数， 则 g 为“真凹函数”。

性质

对于Rⁿ 上任意真凸函数f， 存在Rⁿ上的 b 与实数 β， 使得所有 x满足

$f(x)\ge x\cdot b-\beta$

两个真凸函数的和未必保持真与凸的性质。举例来说， 假设集合 $A\subset X$ 与 $B\subset X$ 均为向量空间 X 上的非空 凸集， 那么特征函数 $I_A$ 和 $I_B$ 为真凸函数， 但是当 $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ 时， $I_A+I_B$ 始终等于 $+\mathrm{\infty }$.

两个真凸函数的卷积下确界为凸函数， 但未必是真凸。