辛钦常数

Template:Expand language 在數論領域中，苏联數學家亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦（Aleksandr Yakovlevich Khinchin）證明對於幾乎所有實數x，其連分數表示式的係數a_i的幾何平均數之極限存在，且與x數值無關，此數值稱為辛钦常數（Template:Lang-en）。

以下是x的連分數表示式

$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{\ddots }}}}$

針對任意實數x，以下的等式幾乎總是為真

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\prod _{i=1}^n{a}_i\right)}^{1/n}=K_0$

其中 $K_0$為辛钦常數

$K_0=\prod _{r=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{r(r+2)})}^{{\log }_{2}r}\approx 2.6854520010\dots$ Template:OEIS.

不符合上述條件的實數包括了有理數、實係數二次方程的解（包括黃金比例 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$），以及自然對數的底e。目前辛欽常數是否為無理數或代數數仍猶未可知。雖然幾乎所有實數之連分數係數的幾何平均都趨近於辛欽常數，但除了特意建構的實數外，並沒有實數被嚴格證明有此性質，僅有一些數值上的證據，像是圓周率及欧拉-马歇罗尼常数。

開放問題

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }({\pi }_1{\pi }_2...{\pi }_n{)}^{1/n}$似乎會趨近辛钦常数

• 根據數值上的證據，圓周率Template:Pi、歐拉-馬斯刻若尼常數Template:Math、以及辛钦常数本身的連分數係數a_i的幾何平均數會趨近辛钦常数，不過這還沒有嚴謹的證明。
• 目前還不知道辛欽常數是有理數、代數數、無理數或超越數。

相關條目

• 李維常數
• Template:Le

參考資料

• Template:Cite journal
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• Template:Citation

外部連結

• 110,000 digits of Khinchin's constant
• 10,000 digits of Khinchin's constant