绝对赋值

Template:Not Template:Cleanup-jargon Template:NoteTA 绝对赋值是Hensel引进p进数后发展出的一个概念，常用于单变量代数函数论或者类域论方面的研究。

确切的说，绝对赋值是一个函数，是整环或域的元素的“大小”的度量。更确切地说，对整环D，一个绝对赋值| x |是从D到实数R，且满足下列条件的任何映射：

1. |x| ≥ 0,
2. |x| = 0 当且仅当 x = 0,
3. |xy| = |x||y|,
4. |x + y| ≤ |x| + |y|.

从第二条和第三条可以看出，| 1 |=1, | -1| = 1。此外，对于任意正整数 n，

| 1+1+...(n次) | = | −1−1...(n次) | ≤ n.

注意有些英文书绝对赋值叫赋值（valuations）、范数（norm）、量值（magnitude）。

绝对赋值的类型

如果|x+ y|满足更强的属性 |x+ y|≤MAX（|x|，|y|），那麽|x|被称为超度量或非阿基米德绝对赋值，否则就叫阿基米德绝对赋值。每一个整环有至少有一个绝对赋值，称为平凡赋值。这种绝对赋值是：当x= 0时|x|= 0，x≠ 0时|x|= 1，有限域只能有平凡赋值。Template:Nowrap begin| x |₁ < 1Template:Nowrap end 当且仅当 Template:Nowrap begin | x |₂ < 1.Template:Nowrap end，那么这两个绝对赋值相等.如果两个非平凡绝对赋值是相等的，那么一些指数e，有 | x |₁^e = | x |₂。（请注意，不能提高绝对赋值的次幂来获得另一个不同的绝对赋值，例如对实数，一个绝对赋值平方后产生另一个不同值，这种情况就不是一个绝对赋值函数。）绝对赋值可导致到等价类来理解，换言之绝对赋值的等价类，被称为一个素点。奥斯特洛夫斯基定理指出，有理数Q中，p-adic数是非平凡绝对赋值，每一个素数p的绝对赋值是有理数Q的素点：

q = pⁿ(a/b), 其中a，b是不被p整除的整数。

${\left|p^n\frac{a}{b}\right|}_p=p^{-n}.$

素点的定义就来自上面普通绝对赋值和p的绝对赋值。

几何概念联系

设$\Re =ℂ[x,y]$ 是在复域的两个变量的多项式环，$𝕂=ℂ(x,y)$ 为有理函数，并考虑收敛：

$f(x,y)=y-\sum _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\in ℂ\{x,y\}$

$t$ 参数化后解析零点集为$V_f$，则作为多项式环的形式幂级数环：

$V_f=\{(x,y)\in {ℂ}^2|f(x,y)=0\}=\{(x,y)\in {ℂ}^2|(x,y)=(t,\sum _{n=3}^{\mathrm{\infty }}{t}^n)\}$。

映射$v:ℂ[x,y]\to \mathbb{Z}$ ，则可能得在$ℂ[x,y]$中的多项式 $P$的限制：

$v(P)={\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_t\left(P{|}_{V_f}\right)={\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_t\left(P(t,\sum _{n=3}^{+\mathrm{\infty }}{t}^n)\right)\mathrm{\forall }P\in ℂ[x,y]$

逆映射也可能得到延拓（扩张）：

$v(P/Q)=\{\begin{array}{cc}v(P)-v(Q)& \mathrm{\forall }P/Q\in {ℂ(x,y)}^{*}\\ \mathrm{\infty }& P\equiv 0\in ℂ(x,y)\end{array}$

若形式幂级数环不是多项式环产生的，则容易证明上面逆映射延拓是赋值，在几何上叫曲线（一维解析代数簇）的交点。 如：

$\begin{array}{c}v(x)={\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_t(t)=1\\ v(x^6-y^2)={\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_t(t^6-t^6-2t^7-3t^8-\cdots )={\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_t(-2t^7-3t^8-\cdots )=7\\ v\left(\frac{x^6-y^2}{x}\right)={\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_t(-2t^7-3t^8-\cdots )-{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_t(t)=7-1=6\end{array}$

参考

• Template:Citation. A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
• Chapter VI of Template:Citation

外部链接

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