希爾伯特第七問題

Template:NoteTA 希爾伯特第七問題是希爾伯特的23個問題之一，此問題涉及無理數及超越數。

命題敘述

給定以下兩個等價^[1]敘述：

在等腰三角形中，若底角和頂角的比值為無理數的代数数，則底邊和側邊長度的比值是否恆為超越數？
若 $b$ 是无理数且为代数数、 $a$ 是非 $0, 1$ 的代数数，那么 $a^{b}$ （例如 $2^{\sqrt{2}}$ 、 $e^{π}$ = $i^{- 2 i}$ ）是否恆為超越数？

第二個問題已于1934年由蘇聯數學家Template:Link-ru證明，德國數學家西奧多·施耐德也在1935年獨立證明此問題，他們證明的結果即為格尔丰德-施奈德定理（ $b$ 是無理數的條件是必要的，否則若a是代數數，b是有理數， $a^{b}$ 一定是代數數)。

若以廣義的觀點來看，這是通用的對數線性形（linear form in logarithms）的一個例子

b \ln α + \ln β = 0

格尔丰德曾研究對數線性形，後來被艾倫·貝克解決了，此稱為是格尔丰德猜想或是Template:Le。艾倫·貝克憑藉此一成果獲得1970年的菲爾茲獎。

在第二個問題成立後，也意味著第一個問題成立。