可分扩张

可分扩张是抽象代数之域扩张理论中的概念。如果一个代数扩张Template:Mvar满足：任何一个Template:Mvar中元素在基域Template:Mvar上的极小多项式都是可分多项式，那么这个扩张就称作可分扩张。由于特征为0的域（包括常见的有理数域$\mathbb{Q}$）以及有限域都是完美域，任何这些域上的代数扩张都是可分扩张，因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是伽罗瓦扩张的条件之一，因此它在伽罗瓦理论中也扮演了重要的角色。

简介

域扩张理论和多项式有紧密的关系。给定一个基域Template:Mvar并固定其某个代数闭包Template:Math，所有Template:Mvar多项式Template:Mvar（即以Template:Mvar中元素为系数的多项式）都在Template:Math中有根，即存在Template:Mvar，使得Template:Math0。考虑集合$Z_f=\{r\in K^{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}};f(r)=0\}$。Template:Mvar包含了Template:Mvar所有的相异的根，它的元素个数不会超过多项式Template:Mvar的次数，但也不总等于多项式Template:Mvar的次数。例如有理数系数的三次多项式$X^3-X$有三个不同的根：1、0和-1，相异根的个数等于多项式次数。但同样是三次多项式$X(X-1{)}^2$就只有两个根：0和1。

尽管随着代数闭包Template:Math变化，多项式Template:Mvar的根的形式可以不一样，但多项式相异根的个数是它的内禀属性。这个属性对应着域扩张理论中的可分扩张与不可分扩张。

多项式的重根与可分多项式

Template:Main 给定域扩张Template:Mvar以及Template:Mvar多项式Template:Mvar。如果某个Template:Mvar中元素Template:Mvar是Template:Mvar的根，那么Template:Mvar可以分解为两个Template:Mvar多项式的乘积：

$f=(X-\alpha )g$.

其中Template:Mvar是一个次数比Template:Mvar少1的多项式。如果Template:Mvar也是Template:Mvar的根，那么Template:Mvar就被称作是多项式Template:Mvar的重根。有重根的多项式，相异根的个数必然严格小于它的次数。这样的多项式称为不可分多项式。反之称为可分多项式。

在Template:Mvar的分裂域中，可以更清楚的看到重根。给定Template:Mvar的分裂域Template:Mvar後，由于Template:Mvar在Template:Mvar中可以完全分解为一次因式的乘积：

$f=\kappa (X-{\alpha }_1)(X-{\alpha }_2)\cdots (X-{\alpha }_k),\kappa \in K,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_k\in F$.

因此可以看出是否有两个根相同。

尽管Template:Mvar的根常常在扩域中，但“Template:Mvar是否有重根”的判断可以直接在Template:Mvar中进行。考虑Template:Mvar的形式导数多项式Template:Math。如果Template:Mvar和Template:Math互素，则Template:Mvar没有重根。否则，Template:Mvar和Template:Math的公因子就是由Template:Mvar的重根组成的多项式。互素的具体判别方式为：

如果存在Template:Mvar多项式Template:Mvar和Template:Mvar，使得Template:Math1，则Template:Mvar和Template:Math互素。

定义

一个代数扩张Template:Mvar是可分扩张，当且仅当对Template:Mvar中任一给定元素Template:Mvar，Template:Mvar在Template:Mvar上的极小多项式没有重根。

可分元素与可分次数

给定一个域扩张Template:Mvar，如果Template:Mvar中某个元素Template:Mvar在Template:Mvar上的极小多项式没有重根，就称它为Template:Mvar上的可分元素。显然所有Template:Mvar中元素都是Template:Mvar上的可分元素。所有可分元素构成一个域，记作Template:Mvar是域扩张Template:Mvar的中间域。子扩张Template:Mvar的次数Template:Math称为Template:Mvar的可分次数，记作Template:Math。如果Template:Math，则Template:Mvar是可分扩张。

当Template:Mvar是有限扩张时，可以定义不可分次数Template:Math。Template:Mvar是可分扩张等价于说不可分次数等于1。

性质

• 如果Template:Mvar、Template:Mvar都是代数扩张，那Template:Mvar是可分扩张当且仅当Template:Mvar和Template:Mvar都是可分扩张。
• 假设Template:Mvar是可分扩张，Template:Mvar是任意扩张，并且Template:Mvar存在，那么Template:Mvar也是可分扩张。
• 由以上两个性质可以推出，对于任何域Template:Mvar，在它的代数闭包Template:Math里，所有在Template:Mvar上可分的元素可以构成一个域。称这个域为Template:Mvar的可分闭包，记作Template:Math。
• 如果Template:Mvar是有限可分扩张，那Template:Mvar之间只存在有限多个中间域，由本原元定理得出，Template:Mvar存在本原元，即存在$\alpha \in L$使得$L=K(\alpha )$。

参见

• 完美域
• 本原元定理

参考文献

• Template:Cite book