正规扩张

Template:NoteTA 正规扩张是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。一个有限扩张Template:Mvar是正规扩张当且仅当扩域Template:Mvar是多项式环Template:Math中的某个多项式的分裂域。布尔巴基学派将这类扩张称为“准伽罗瓦扩张”。正规扩张是代数扩张的一种。

定义

正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张Template:Mvar是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个：

1. Template:Mvar是多项式环Template:Math中的某一族多项式的分裂域。
2. 设Template:Math是一个包含了Template:Mvar的Template:Mvar的代数闭包。对于L在Template:Math上的每一个嵌入Template:Mvar，只要它限制在Template:Mvar上的部分是平凡的（即为恒等映射：Template:Mvar(Template:Mvar)Template:Math），那么就有Template:MvarTemplate:Math。换句话说，Template:Mvar在Template:Math上的每一个Template:Mvar嵌入Template:Mvar都是一个Template:Mvar上的Template:Mvar自同构。
3. 任意一个Template:Math上的不可约多项式，只要它在Template:Mvar中有一个根，那么就可以在Template:Math分解成一次因式的乘积（或者说全部的根都在Template:Mvar中）。

例子

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$是$\mathbb{Q}$的一个正规扩张，因为它是$\mathbb{Q}$上的多项式$x^2-2$的分裂域。然而，$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$并不是$\mathbb{Q}$的一个正规扩张，因为$\mathbb{Q}$上的不可约多项式$x^3-2$有一个根：$\sqrt[3]{2}$在$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$里面，但它的另外两个根：$\sqrt[3]{2}\left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)$和$\sqrt[3]{2}\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)$都是複數，不在$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$里面。只有在加入了三次单位根：$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$后的扩域$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$才是一个正规扩张。

也可以用正规扩张的第二个定义来证明$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$不是$\mathbb{Q}$的正规扩张。设域$𝔸$是由所有复代数数生成的扩域，则$𝔸$是$\mathbb{Q}$的一个代数闭包，并且$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$在$𝔸$里面。另一方面，

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\in 𝔸|a,b,c\in \mathbb{Q}\}$

并且，如果记$\zeta =\sqrt[3]{2}\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)$是$x^3-2$的复根之一，那么映射：

$\begin{array}{cccc}\sigma :& \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})& ⟶& 𝔸\\ & a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}& \mapsto & a+b\zeta +c{\zeta }^2\end{array}$

是$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$在$𝔸$上的一个嵌入，并且它限制在$\mathbb{Q}$上的部分是平凡的（将$\mathbb{Q}$中元素映射到自己）。但是Template:Mvar并不是$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$上的自同构。

更一般地，对每一个素数Template:Mvar，域扩张$\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},{\zeta }_p)$都是$\mathbb{Q}$的一个正规扩张，扩张的次数是Template:Mvar(Template:Math1)。$\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},{\zeta }_p)$是$\mathbb{Q}$上的多项式$x^p-2$的分裂域。其中的${\zeta }_p$是任意一个复数Template:Mvar次单位根。

性质

设有域扩张Template:Mvar，那么：

• 如果Template:Mvar是Template:Mvar的正规扩张，并且Template:Mvar是一个子扩张（也就是说有扩张Template:Mvar⊂Template:Mvar⊂Template:Mvar）那么Template:Mvar也是Template:Mvar的正规扩张。
• 如果Template:Mvar的子域Template:Mvar和Template:Mvar都是Template:Mvar的正规扩张，那么两者的复合扩张Template:Mvar（指Template:Mvar的子域中同时包含Template:Mvar和Template:Mvar的最小者）以及两者的交Template:Mvar∩Template:Mvar也都是Template:Mvar的正规扩张。

正规闭包

设有域扩张Template:Mvar，那么总存在域扩张Template:Mvar，使得Template:Mvar是正规扩张。在同构意义上，“最小”的这样的扩张是唯一。即是说，其他的域扩张Template:Mvar如果使得Template:Mvar是正规扩张，那么总存在Template:Mvar的子扩张Template:Mvar，使得Template:Mvar同构于Template:Mvar。这个唯一的“最小”正规扩张Template:Mvar称为域扩张Template:Mvar的正规闭包。

如果Template:Mvar是有限扩张，那么它的正规闭包Template:Mvar也是有限扩张（因此Template:Mvar也是有限扩张）。

参见

• 伽罗瓦扩张

参考来源

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