置换矩阵

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在数学中的矩阵论裡，置换矩阵（Template:Lang-en）是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1，其余元素都是0。在线性代数中，每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素（n维空间的基）的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。

严格定义

每个n元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。设π 为一个n元置换：

π : {1, \dots, n} \to {1, \dots, n}

给出其映射图：

[\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ π (1) & π (2) & \dots & π (n) \end{matrix}]

它对应的n × n的置换矩阵P_π是：在第i横行只有π(i)位置上系数为1，其余为0。即可以写做：

P_{π} = [\begin{matrix} 𝐞_{π (1)} \\ 𝐞_{π (2)} \\ ⋮ \\ 𝐞_{π (n)} \end{matrix}]

其中每个 $𝐞_{j}$ 表示正则基中的第j个，也就是一个左起第j个元素为1，其余都是0的n元横排数组。

由于单位矩阵是

I = [\begin{matrix} 𝐞_{1} \\ 𝐞_{2} \\ ⋮ \\ 𝐞_{n} \end{matrix}]

置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵。

性质

对两个n元置换π 和 σ的置换矩阵P_π 和P_σ，有

P_{π} P_{σ} = P_{σ \circ π}

一个置换矩阵P_π 必然是正交矩阵（即满足 $P_{π} P_{π}^{T} = I$ ），并且它的逆也是置换矩阵：

P_{π}^{- 1} = P_{π^{- 1}} = P_{π}^{T}

用置换矩阵 $P_{π}$ 右乘一个列向量 g所得到的是 g 的系数经过置换后的向量：

P_{π} 𝐠 = [\begin{matrix} 𝐞_{π (1)} \\ 𝐞_{π (2)} \\ ⋮ \\ 𝐞_{π (n)} \end{matrix}] [\begin{matrix} g_{1} \\ g_{2} \\ ⋮ \\ g_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} g_{π (1)} \\ g_{π (2)} \\ ⋮ \\ g_{π (n)} \end{matrix}] .

用置换矩阵 $P_{π}$ 左乘一个行向量 h 所得到的是 h 的系数经过置换后的向量：

𝐡 P_{π} = [\begin{matrix} h_{1} h_{2} \dots h_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} 𝐞_{π (1)} \\ 𝐞_{π (2)} \\ ⋮ \\ 𝐞_{π (n)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} h_{π^{- 1} (1)} h_{π^{- 1} (2)} \dots h_{π^{- 1} (n)} \end{matrix}]

置换矩阵与置换

设S_n是n次对称群，由于n置换一共有n! 个，n阶的置换矩阵也有n! 个。这n! 个置换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群。这个群的单位元就是单位矩阵。设A是所有n阶的置换矩阵的集合。映射S_n → A ⊂ GL(n, Z₂)是一个群的忠实表示。

对一个置换σ，其对应的置换矩阵P_σ是将单位矩阵的横行进行 σ 置换，或者将单位矩阵的横行进行 σ⁻¹ 置换得到的矩阵。

置换矩阵是双随机矩阵的一种。伯克霍夫-冯·诺伊曼定理说明每个双随机矩阵都是同阶的置换矩阵的凸组合，并且所有的置换矩阵构成了双随机矩阵集合的所有端点。

置换矩阵P_σ的迹数等于相应置换σ的不动点的个数。设 a₁、a₂、……、a_k 为其不动点的序号，则e_a₁、e_a₂、……、e_{a_k} 是P_σ的特征向量。

由群论可以知道，每个置换都可以写成若干个对换的复合。由此可知，置换矩阵P_σ都可以写成若干个表示两行交换的初等矩阵的乘积。P_σ的行列式就等于 σ 的符号差。

例子

对应于置换π = (1 4 2 5 3)的置换矩阵P_π 是

P_{π} = [\begin{matrix} 𝐞_{π (1)} \\ 𝐞_{π (2)} \\ 𝐞_{π (3)} \\ 𝐞_{π (4)} \\ 𝐞_{π (5)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 𝐞_{1} \\ 𝐞_{4} \\ 𝐞_{2} \\ 𝐞_{5} \\ 𝐞_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}] .

给定一个向量 g，

P_{π} 𝐠 = [\begin{matrix} 𝐞_{π (1)} \\ 𝐞_{π (2)} \\ 𝐞_{π (3)} \\ 𝐞_{π (4)} \\ 𝐞_{π (5)} \end{matrix}] [\begin{matrix} g_{1} \\ g_{2} \\ g_{3} \\ g_{4} \\ g_{5} \end{matrix}] = [\begin{matrix} g_{1} \\ g_{4} \\ g_{2} \\ g_{5} \\ g_{3} \end{matrix}] .

推广

置换矩阵概念的一个推广是将方阵的情况推广到一般矩阵的情况：

一个m×n的0-1矩阵 P 是置换矩阵当且仅当

P \cdot P^{T} = I_{m}

这时一个0-1矩阵是置换矩阵当且仅当它的每一行恰有一个1，每一列至多有一个1。

置换矩阵概念的另一个推广是将每行的1变为一个非零的实数：

一个n阶的方块矩阵 P 是置换矩阵当且仅当其每一行与每一列都恰好只有一个系数不为零。

这时的置换矩阵P可以看做由0和1组成的置换矩阵Q与一个对角矩阵相乘的结果。

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参考资料

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