留数

Template:Not 在复分析中，留数是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数。（更一般地，对于任何除去离散点集{a_k}之外全纯的函数$f:ℂ\setminus \{a_k\}\to ℂ$都可以计算其留数，即便是离散点集中含有本质奇点）留数可以是很容易计算的，一旦知道了留数，就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分。

定义

亚纯函数$f$在孤立奇点$a$的留数，通常记为$\mathrm{Res}(f,a)$或${\mathrm{Res}}_a(f)$，是使$f(z)-R/(z-a)$在穿孔圆盘$0<|z-a|<\delta$内具有解析原函数的唯一值$R$。

另外，留数也可以通过求出洛朗级数展开式来计算，并且可以将留数定义为洛朗级数的系数a_-1。

留数的定义可以拓展到任意黎曼曲面上。

例子

作为例子，考虑以下的路径积分：

${\oint }_C\frac{e^z}{z^5}dz$

其中C是围绕原点的任意(正向)简单闭曲线。

我们来计算这个积分，不用任何标准的积分定理。现在，e^z的泰勒级数是众所周知的，我们可以把这个级数代入被积表达式中。则积分变为：

${\oint }_C\frac{1}{z^5}(1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}+\frac{z^6}{6!}+\cdots )dz.$

我们把1/z⁵的项乘进级数中，便得到：

${\oint }_C(\frac{1}{z^5}+\frac{z}{z^5}+\frac{z^2}{2!z^5}+\frac{z^3}{3!z^5}+\frac{z^4}{4!z^5}+\frac{z^5}{5!z^5}+\frac{z^6}{6!z^5}+\cdots )dz$

$={\oint }_C(\frac{1}{z^5}+\frac{1}{z^4}+\frac{1}{2!z^3}+\frac{1}{3!z^2}+\frac{1}{4!z}+\frac{1}{5!}+\frac{z}{6!}+\cdots )dz.$

现在，积分便化为更简单的形式。由于：

${\oint }_C\frac{1}{z^a}dz=0,a\in \mathbb{Z},a\ne 1.$

因此任何不是$\frac{c}{z}$形式的项都变成了零，那么积分变为：

${\oint }_C\frac{1}{4!z}dz=\frac{1}{4!}{\oint }_C\frac{1}{z}dz=\frac{1}{4!}(2\pi i)=\frac{\pi i}{12}.$

$\frac{1}{4!}$就是$\frac{e^z}{z^5}$在z = 0的留数，记为：

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_0\frac{e^z}{z^5},$或${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=0}\frac{e^z}{z^5},$或$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,0).$

留数的计算

设复平面内有一穿孔圆盘$D=\{z:0<|z-c|<R\}$，f是定义在D内的一个全纯函数。f在c的留数Res(f, c)是罗朗级数展开式的(z − c)⁻¹项的系数a₋₁。计算留数的值的方法有很多，具体采用那种方法取决于题目中的函数，以及奇点的性质。

根据柯西积分公式，我们有：

$\mathrm{Res}(f,c)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }f(z)dz$

其中γ是逆时针绕着c的一条闭曲线。我们可以选择γ为绕着c的一个圆，它的半径可以任意地小。

可去奇点

如果函数f在整个圆盘$\{|z-c|<R\}$内可以延拓为全纯函数，则Res(f, c) = 0。反过来不总成立。

一阶极点

在一阶极点，留数由以下公式给出：

$\mathrm{Res}(f,c)=\underset{z\to c}{\lim }(z-c)f(z).$

设g和h在c的一个邻域内是全纯函数，h(c) = 0而g(c) ≠ 0，那么函数f(z)=g(z)/h(z)在极点c的留数为：

$\mathrm{Res}(f,c)=\frac{g(c)}{h^{\prime }(c)}.$

较高阶极点的极限公式

更一般地，f在z = c的留数，其中c是n阶极点，由以下公式给出：

$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,c)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to c}{\lim }\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}((z-c{)}^{n}f(z)).$

以上的公式对于计算低阶极点的留数是十分有用的。对于较高阶的极点，则级数展开式更加容易一些。

无穷远点的留数

一般地，无穷远点的留数是指：

$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f(z),\mathrm{\infty })=-\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),0)$.

如果满足下面的条件：

$\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z)=0$,

则可以用下面的公式计算无穷远点的留数：

$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,\mathrm{\infty })=-\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{\lim }z\cdot f(z)$.

如果不满足，即

$\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z)=c\ne 0$,

则无穷远点的留数为：

$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,\mathrm{\infty })=-\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}^2\cdot f^{\prime }(z)$.

级数方法

如果函数的一部分或全部可以展开为泰勒级数或洛朗级数，则留数的计算比用其它的方法要容易得多。

1. 第一个例子，计算以下函数在奇点的留数：

$f(z)=\frac{\sin z}{z^2-z}$

它可以用来计算一定的路径积分。这个函数表面上在z = 0处具有奇点，但如果把分母因式分解，而把函数写成：

$f(z)=\frac{\sin z}{z(z-1)}$

则显然z = 0是可去奇点，因此z = 0处的留数为零。

唯一一个另外的奇点是z = 1。函数g(z)在z = a的泰勒级数为：

$g(z)=g(a)+g^{\prime }(a)(z-a)+\frac{g^{″}(a)(z-a{)}^2}{2!}+\frac{g^{‴}(a)(z-a{)}^3}{3!}+\cdots$

因此，对于g(z) = sin z和a = 1，我们有：

$\sin z=\sin 1+\cos 1(z-1)+\frac{-\sin 1(z-1{)}^2}{2!}+\frac{-\cos 1(z-1{)}^3}{3!}+\cdots .$

对于g(z) = 1/z和a = 1，我们有：

$\frac{1}{z}=\frac{1}{(z-1)+1}=1-(z-1)+(z-1{)}^2-(z-1{)}^3+\cdots .$

把两个级数相乘，并除以(z − 1)，便得：

$\frac{\sin z}{z(z-1)}=\frac{\sin 1}{z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)(-\frac{\sin 1}{2!}-\cos 1+\sin 1)+\cdots .$

因此f(z)在z = 1的留数为sin 1。

2. 接下来的例子展示了运用级数展开来求留数，拉格朗日反演定理在这里发挥了重要作用。令

$u(z):=\sum _{k\ge 1}{u}_k{z}^k$

为一个整函数，并令

$v(z):=\sum _{k\ge 1}{v}_k{z}^k$

参见

• 柯西积分公式
• 柯西积分定理
• 莫雷拉定理

参考文献

• Template:Cite book
• Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).

外部链接

• Template:MathWorld
• 留数的教程