刘维尔定理 (复分析)

刘维尔定理是数学中复分析的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域$ℂ$上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。

比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。後者说明，只要存在两个相异的复数，它们都不属于一个整函数的值域，则这个整函数是常数函数。

简介

整函数是指从复数域$ℂ$射到复数域，并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。全纯也称为复可微，是复函数的重要性质。某个函数]$f:ℂ\to ℂ$在某点$z_0$全纯，指在点$z_0$以及其邻域上有定义，并且以下极限：

$\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$

存在。全纯函数是复分析中的中心概念。全纯不仅代表着复可微，而且可以证明，全纯函数必然无穷可微，是解析函数。

刘维尔定理说明，任何一个整函数$f:ℂ\to ℂ$，如果存在一个正数$M$，使得对于所有的复数$z$，$f(z)$的模长都小于等于$M$：

$z\in ℂ,|f(z)|⩽M,$

则该函数必定是常数函数。

证明

证明用到了整函数和解析函数的关系。整函数必然是解析函数，设有整函数$f:ℂ\to ℂ$，考虑它关于$z_0=0$的解析展开：

$f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k$

其中的系数$a_k$可以根据柯西积分公式求得：

$a_k=\frac{f^{(k)}}{k!}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C_r}\frac{f(\zeta )}{{\zeta }^{k+1}}d\zeta$

其中$C_r=\{z:|z|=r\}$是以0为圆心，半径为$r>0$的圆。依照函数$f$有界的条件，可以估计系数$a_k$模长的上界：

$|a_k|\le \frac{1}{2\pi }{\oint }_{C_r}\frac{|f(\zeta )|}{|{\zeta }^{k+1}|}|d\zeta |\le \frac{1}{2\pi }{\oint }_{C_r}\frac{M}{r^{k+1}}|d\zeta |\le \frac{M}{r^k},$

在以上的估计中，曲线积分为$C_r$，其中半径$r$的选择是任意的。当$r$趋于无穷大时，$\frac{M}{r^k}$趋于0. 因此，让$r$趋于无穷大，便可以推出：对所有的k ≥ 1，都有a_k = 0。这说明，

$f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k=a_0$

即是说$f$是常数函数。定理得证。

应用与推论

整函数的大小关系

应用刘维尔定理可以证明，如果一个整函数$f$总比另一个整函数$g$小：$|f|⩽|g|$，那么这两个整函数成比例关系：$\mathrm{\forall }z\in ℂ,f(z)=\kappa \cdot g(z)$，其中$\kappa$是比例常数。

考虑函数$h:z\mapsto \{\begin{array}{cc}\frac{f(z)}{g(z)}& g(z)\ne 0,\\ 0& g(z)=0.\end{array}$

$|f|⩽|g|$说明，函数$h$的模长总小于等于1。另一方面，由于$|f|⩽|g|$，所以$\frac{f(z)}{g(z)}$的奇点都是可去奇点，可以依照上面的方式拓延为整函数$h$。所以$h$作为一个有界的整函数，根据刘维尔定理，必然是常数函数。这说明$f$和$g$成比例关系。

次线性整函数

次线性函数，指函数值总小于等于定值乘以变量值的函数。设整函数$f$满足：

$\mathrm{\forall }z\in ℂ,|f(z)|⩽M|z|.$

其中$M$是一个常数系数。考虑$f$的导函数。根据柯西积分公式，

$|f^{\prime }(z)|=\frac{1}{2\pi }\left|{\oint }_{C_r}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^2}\mathrm{d}\zeta \right|\le \frac{1}{2\pi }{\oint }_{C_r}\frac{|f(\zeta )|}{|(\zeta -z{)}^2|}\left|\mathrm{d}\zeta \right|\le \frac{1}{2\pi }{\oint }_{C_r}\frac{M\left|\zeta \right|}{|(\zeta -z{)}^2|}\left|\mathrm{d}\zeta \right|=\frac{M{I}_r^z}{2\pi }$

其中$C_r=\{\zeta ;|\zeta -z|=r\}=\{z+r\cdot e^{it};t\in [0,2\pi ]\}$是以$z$为圆心，半径为$r$的圆；

$I_r^z={\oint }_{C_r}\frac{\left|\zeta \right|}{|(\zeta -z{)}^2|}\left|\mathrm{d}\zeta \right|=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{|z+r\cdot e^{it}|}{r}\mathrm{d}t$

取$r=|z|$，则$|z+r\cdot e^{it}|⩽|z|+r=2r.$ 所以$I_r^z⩽\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}2\mathrm{d}t=4\pi$，因此

$|f^{\prime }(z)|⩽2M.$

因此依据刘维尔定理，$f^{\prime }$是常数函数。另一方面，$|f(0)|⩽M|0|$，所以$f(0)=0.$ 综上可知，次线性整函数$f$是线性函数。

皮卡小定理

刘维尔定理可以被用于进一步证明推广了它的皮卡小定理。

参考文献

• Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
• Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.

外部链接

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• 刘维尔定理的教程