酉矩阵

在線性代數中，么正矩陣（又译作-{zh-cn:幺正矩阵; zh-tw:酉矩陣;}-，英語：unitary matrix）指其共軛轉置恰為其逆矩陣的複數方陣，數學描述如下：

（數學定義）$U^{*}U=U{U}^{*}=I_n$，

（推論）$U^{-1}=U^{*}$。

其中 Template:Math 是 Template:Math 的共軛轉置，Template:Math 是 Template:Math 單位矩陣。

么正矩陣是正交矩陣（元素均為實數）在複數的推廣。

例子

以下是一個酉矩陣的例子：

$U=\left[\begin{array}{cc}-\frac{i}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$。

驗证如下：

$U^{*}U=\left[\begin{array}{cc}\frac{i}{\sqrt{2}}& -\frac{i}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-\frac{i}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

$U{U}^{*}=\left[\begin{array}{cc}-\frac{i}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{i}{\sqrt{2}}& -\frac{i}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

性質

從定義可知，么正矩陣滿足以下性質：

$U^{*}U=U{U}^{*}=I_n$ 。

由此可見，么正矩陣與其共軛轉置 Template:Math 矩陣乘法可交換，是正規矩陣。

么正矩陣亦必定可逆，且逆矩陣等於其共軛轉置：

$U^{-1}=U^{*}$。

么正矩陣 Template:Math 的所有特徵值 Template:Math ，都是絕對值等於 Template:Math 的複數：

$\left|{\lambda }_n\right|=1$ 。

因此，么正矩陣 Template:Math 行列式的絕對值也是 Template:Math：

$|\det (U)|=1$ 。

么正矩陣 Template:Math 不會改變兩個複向量 Template:Math 和 Template:Math 的點積：

$(U𝐱)\cdot (U𝐲)=𝐱\cdot 𝐲$。

更一般地說，所有希爾伯特內積也不會改變：

$⟨U𝐱,U𝐲⟩=⟨𝐱,𝐲⟩$。

若 Template:Math 及 Template:Math 都是么正矩陣，则 Template:Math 也是么正矩陣：

$(UV{)}^{*}(UV)=(UV)(UV{)}^{*}=I_n$。

若 Template:Math 为 Template:Math 矩陣，則下列條件等價：

1. Template:Math 是么正矩阵
2. Template:Math是么正矩阵
3. Template:Math 的列向量是在 Template:Math 上的一组标准正交基
4. Template:Math 的行向量是在 Template:Math 上的一组标准正交基

給定任意的 Template:Math ，所有 Template:Math 階么正矩阵的集合 Template:Math 與矩陣乘法「Template:Math」，都能構成一個群 Template:Math。

么正對角化

么正對角化（又译作-{zh-cn:幺正對角化; zh-tw:酉對角化;}-，英語：unitary diagonalisation），指把一個矩陣 Template:Math 對角化成以下形式：

$A=UD{U}^{*}$ ，

其中 Template:Math 是么正矩陣，Template:Math 是對角矩陣。

根據譜定理，一個矩陣 Template:Math 可么正對角化，當且僅當 Template:Math 是正規矩陣，即它與其共軛轉置 Template:Math 矩陣乘法可交換（Template:Math）。

由於么正矩陣本身也是一個正規矩陣，因此么正矩陣 Template:Math 也可么正對角化：

$U=V\mathrm{\Sigma }{V}^{*}$，

其中 Template:Math 是么正矩陣，Template:Math 是對角矩陣。

参见

• 共軛轉置
• 厄米矩陣
• 矩陣分解
• 么正群
• 么正算符
• 辛矩阵

參考資料

• Rowland, Todd. "Unitary Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. -{R|http://mathworld.wolfram.com/UnitaryMatrix.html}- Template:Wayback
• Peter V. O'Neil（2012）。高等工程數學（第7版）。黃孟槺譯。華泰文化總經銷，ISBN 978-1-285-10502-4。