算术-几何平均数

两个正实数$x$和$y$的算术-几何平均数定义如下：

首先计算$x$和$y$算术平均数（相加平均），称其为$a_1$。然后计算$x$和$y$几何平均数（相乘平均），称其为$g_1$；这是$xy$的算术平方根。

$a_1=\frac{x+y}{2}$

$g_1=\sqrt{xy}.$

然后重复这个步骤，这样便得到了两个数列$\{a_n\}$和$\{g_n\}$：

$a_{n+1}=\frac{a_n+g_n}{2}$

$g_{n+1}=\sqrt{a_n{g}_n}.$

这两个数列收敛于相同的数，这个数称为$x$和$y$的算术-几何平均数，记为$M(x,y)$，或$\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(x,y)$。

例子

欲计算$a_0=24$和$g_0=6$的算术-几何平均数，首先算出它们的算术平均数和几何平均数：

$a_1=\frac{24+6}{2}=15,$

$g_1=\sqrt{24\times 6}=$Template:Root

然后进行迭代：

$a_2=\frac{15+12}{2}=13.5,$

$g_2=\sqrt{15\times 12}=$Template:Root etc.

继续计算，可得出以下的值：

$n$	$a_n$	$g_n$
0	24	6
1	Template:Root	Template:Root
2	Template:Root	Template:Root...
3	Template:Root...	Template:Root...
4	Template:Root...	Template:Root...

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限，大约为13.45817148173。

性质

$M(x,y)$是一个介于$x$和$y$的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果$r>0$，则$M(rx,ry)=rM(x,y)$。

$M(x,y)$还可以写为如下形式：

$\mathrm{M}(x,y)=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{x+y}{K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}$

其中$K(x)$是第一类完全椭圆积分。

1和$\sqrt{2}$的算术-几何平均数的倒数，称为高斯常数。

$\frac{1}{\mathrm{M}(1,\sqrt{2})}=G=0.8346268\dots$

存在性的证明

由算术几何不等式可得

$g_n⩽a_n$

因此

$g_{n+1}=\sqrt{g_n\cdot a_n}⩾\sqrt{g_n\cdot g_n}=g_n$

这意味着 $\{g_n\}$ 是不降序列。同时，因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间，又可以得到该序列是有上界的（$x,y$ 中的较大者）。根据单调收敛定理，存在 $g$ 使得:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_n=g$

然而，我们又有:

$a_n=\frac{g_{n+1}^2}{g_n}$

从而:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{g_{n+1}^2}{g_n}=\frac{g^2}{g}=g$

证毕。

关于积分表达式的证明

该证明由高斯首次提出。 令

$I(x,y)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }},$

将积分变量替换为 ${\theta }^{\prime }$, 其中

$\sin \theta =\frac{2x\sin {\theta }^{\prime }}{(x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }},$

于是可得

$\begin{array}{cc}I(x,y)& =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d{\theta }^{\prime }}{\sqrt{(\frac{1}{2}(x+y){)}^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }+(\sqrt{xy}{)}^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }}}\\ & =I(\frac{1}{2}(x+y),\sqrt{xy}).\end{array}$

因此，我们有

$\begin{array}{cc}I(x,y)& =I(a_1,g_1)=I(a_2,g_2)=\cdots \\ & =I(M(x,y),M(x,y))=\frac{\pi }{2M(x,y)}.\end{array}$

最后一个等式可由 $I(z,z)=\frac{\pi }{2z}$ 推出。

于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式：

$M(x,y)=\frac{\pi }{2I(x,y)}.$

参考文献

来源

• Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X Template:MathSciNet
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参见

• 算术平均数
• 几何平均数