動量算符

Template:NoteTA Template:物理算符 在量子力學裏，動量算符（Template:Lang-en）是一種算符，可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶電荷、沒有自旋的粒子，作用於波函數 $\psi (x)$ 的動量算符可以寫為

$\hat{p}=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$ ；

其中，$\hat{p}$ 是動量算符，$\hslash$ 是約化普朗克常數，$i$ 是虛數單位，$x$ 是位置。

給予一個粒子的波函數 $\psi (x)$ ，這粒子的動量期望值為

$⟨p⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }^{*}(x)\hat{p}\psi (x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }^{*}(x)\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi (x)dx$ ；

其中，$p$ 是動量。

導引 1

對於一個非相對論性的自由粒子，位勢 $V(x)=0$ ，不含時薛丁格方程式表達為

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\psi (x)=E\psi (x)$ 。

其中，$\hslash$ 是約化普朗克常數，$m$ 是粒子的質量，$\psi (x)$ 是粒子的波函數，$x$ 是粒子的位置，$E$ 是粒子的能量。

這薛丁格方程式的解答 ${\psi }_k(x)$ 是一個平面波：

${\psi }_k(x)=e^{ikx}$ ；

其中，$k$ 是波數，$k^2=2mE/{\hslash }^2$ 。

根據德布羅意假說，自由粒子所表現的物質波，其波數與自由粒子動量的關係是

$p=\hslash k$ 。

自由粒子具有明確的動量 $p$ ，給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為 $\hat{p}$ 。假若，對於這系綜內，每一個自由粒子系統的動量所作的測量，都得到同樣的測量值 $p$ ，那麼，不確定性 ${\sigma }_p=0$ ，這自由粒子的量子態是確定態，是 $\hat{p}$ 的本徵態，在位置空間(Template:Lang)裏，本徵函數為 ${\psi }_k$ ，本徵值為 $p$ ：

$\hat{p}{\psi }_k(x)=p{\psi }_k(x)$ 。

換句話說，在位置空間裏，動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數 ${\psi }_k(x)$ 。

為了要達到此目標，勢必要令

$\hat{p}{\psi }_k(x)=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}{\psi }_k(x)=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}{e}^{ikx}=\hslash k{e}^{ikx}=p{\psi }_k(x)$ 。

所以，可以認定動量算符的形式為

$\hat{p}=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$ 。

導引 2

在古典力學裏，動量是質量乘以速度：

$p=mv=m\frac{dx}{dt}$ 。

在量子力學裏，由於粒子的位置不是明確的，而是機率性的。所以，猜想這句話是以期望值的方式來實現：

$⟨p⟩=m\frac{d}{dt}⟨x⟩$ 。

那麼，用積分方程式來表達，

$⟨p⟩=m\frac{d}{dt}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{\Psi }}^{*}(x,t)x\mathrm{\Psi }(x,t)dx$ ；

其中，$\mathrm{\Psi }(x,t)$ 是波函數。

取微分於積分號下，

$⟨p⟩=m\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial t}x\mathrm{\Psi }+{\mathrm{\Psi }}^{*}\frac{\partial x}{\partial t}\mathrm{\Psi }+{\mathrm{\Psi }}^{*}x\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t})dx$ 。

由於 $x$ 只是一個位置的統計參數，不跟時間有關，

$⟨p⟩=m\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial t}x\mathrm{\Psi }+{\mathrm{\Psi }}^{*}x\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t})dx$ 。(1)

含時薛丁格方程式為

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}+V\mathrm{\Psi }$ ；

其中， $V$ 是位勢。

其共軛複數為

$i\hslash \frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial t}=\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial x^2}-V{\mathrm{\Psi }}^{*}$ 。

將上述兩個方程式代入方程式 (1)，可以得到

$\begin{array}{cc}⟨p⟩& =\frac{m}{i\hslash }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial x^2}x\mathrm{\Psi }-V{\mathrm{\Psi }}^{*}x\mathrm{\Psi }-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\Psi }}^{*}x\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}+{\mathrm{\Psi }}^{*}xV\mathrm{\Psi })dx\\ & =\frac{\hslash }{i2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial x^2}x\mathrm{\Psi }-{\mathrm{\Psi }}^{*}x\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2})dx\\ \end{array}$ 。

使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数$\mathrm{\Psi }$趋于零的特性，有

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial x^2}x\mathrm{\Psi }dx=-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial x}\mathrm{\Psi }dx-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial x}x\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}dx$ ，(2)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{\Psi }}^{*}x\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}dx=-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{\Psi }}^{*}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}dx-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial x}x\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}dx$ 。(3)

方程式 (2) 與 (3) 的減差（使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数$\mathrm{\Psi }$趋于零的特性）

$(2)-(3)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(-\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial x}\mathrm{\Psi }+{\mathrm{\Psi }}^{*}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x})dx=2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{\Psi }}^{*}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}dx$ 。

所以，

$⟨p⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{\Psi }}^{*}\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{\Psi }dx$ 。

對於任意波函數 $\mathrm{\Psi }$ ，這方程式都成立。因此，可以認定動量算符 $\hat{p}$ 為 $\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$ 。

厄米算符

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 $O$ 的期望值是實值的：

$⟨O⟩=⟨O{⟩}^{*}$ 。

對於任意量子態 $|\psi ⟩$ ，這關係都成立：

$⟨\psi |\hat{O}|\psi ⟩=⟨\psi |\hat{O}|\psi {⟩}^{*}$ 。

根據伴隨算符的定義，假設 ${\hat{O}}^{†}$ 是 $\hat{O}$ 的伴隨算符，則 $⟨\psi |\hat{O}|\psi {⟩}^{*}=⟨\psi |{\hat{O}}^{†}|\psi ⟩$ 。因此，

$\hat{O}={\hat{O}}^{†}$ 。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 $\hat{O}$ ，都是厄米算符。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態 $|\psi ⟩$ 的波函數為 $\psi (x)$ ，

$\begin{array}{cc}⟨\psi |\hat{p}|\psi ⟩& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }^{*}\frac{\hslash }{i}\frac{\partial \psi }{\partial x}dx={\frac{\hslash }{i}{\psi }^{*}\psi |}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\frac{\hslash }{i}\frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial x}\right)\psi dx\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\psi {\left(\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi \right)}^{*}dx=⟨\psi |\hat{p}|\psi {⟩}^{*}=⟨\psi |{\hat{p}}^{†}|\psi ⟩\\ \end{array}$ 。

對於任意量子態 $|\psi ⟩$ ，$\hat{p}={\hat{p}}^{†}$ 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

本徵值與本徵函數

假設，動量算符 $\hat{p}$ 的本徵值為 $p$ 的本徵函數是 $f_p(x)$ ：

$\hat{p}{f}_p(x)=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial f_p(x)}{\partial x}=p{f}_p(x)$ 。

這方程式的一般解為，

$f_p(x)=f_0{e}^{ipx/\hslash }$ ；

其中，$f_0$ 是常數。

假設 $f_p(x)$ 的定義域是一個有限空間，從 $x=-L$ 到 $x=L$ ，那麼，可以將 $f_p(x)$ 歸一化：

$\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{f}_p^{*}(x)f_p(x)dx=|f_0{|}^2\underset{-L}{\overset{L}{\int }}dx=|f_0{|}^{2}2L=1$ 。

$f_0$ 的值是 $1/\sqrt{2L}$ 。動量算符的本徵函數歸一化為 $f_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2L}}{e}^{ipx/\hslash }$ 。

假設 $f_p(x)$ 的定義域是無窮大空間，則 $f_p(x)$ 不是一個平方可積函數：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_p^{*}(x)f_p(x)dx=|f_0{|}^2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx=\mathrm{\infty }$ 。

動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內，不能直接地積分 $|f_p(x){|}^2$ 於無窮大空間，來使 $f_p(x)$ 歸一化。

換另一種方法，設定 $f_0=1/\sqrt{2\pi \hslash }$ 。那麼，

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{p1}^{*}(x)f_{p2}(x)dx=\frac{1}{2\pi \hslash }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-i(p1-p2)x/\hslash }dx=\delta (p1-p2)$ ；

其中，$\delta (p1-p2)$ 是狄拉克δ函數。

這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質，動量算符的本徵函數是完備的。也就是說，任意波函數 $\psi (x)$ 都可以表達為本徵函數的線性組合：

$\psi (x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}c(p)f_p(x)dp=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}c(p)e^{ipx/\hslash }dp$ ；

其中，係數 $c(p)$ 是

$c(p)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_p^{*}(x)\psi (x)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\psi (x)e^{-ipx/\hslash }dx$ 。

正則對易關係

位置算符與動量算符的交換算符，當作用於一個波函數時，有一個簡單的結果：

$[\hat{x},\hat{p}]\psi =(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})\psi =x\frac{\hslash }{i}\frac{\partial \psi }{\partial x}-\frac{\hslash }{i}\frac{\partial (x\psi )}{\partial x}=i\hslash \psi$ 。

所以，$[\hat{x},\hat{p}]=i\hslash$ 。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。$\hat{x}$ 與 $\hat{p}$ 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，$\hat{x}$ 的本徵態與 $\hat{p}$ 的本徵態不同。

根據不確定性原理，

$\mathrm{\Delta }A\mathrm{\Delta }B\ge \left|\frac{⟨[A,B]⟩}{2i}\right|$ 。

由於 $x$ 與 $p$ 是兩個不相容可觀察量，$\left|\frac{⟨[\hat{x},\hat{p}]⟩}{2i}\right|=\hslash /2$ 。所以，$x$ 的不確定性與 $p$ 的不確定性的乘積 $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p$ ，必定大於或等於 $\hslash /2$ 。