理想類群

Template:Expert理想類群（Template:Lang-en）是代數數論的基本對象之一，簡稱類群。 一個代数数域Template:Math的理想类群是形如 Template:Math 的商群; 此处Template:Math 是代数数域Template:Math的整数环的所有分式理想构成的群; 而Template:Math是这个群的子群，包含所有可以被一个元素生成的分式理想(类似主理想的定义)。
理想类群在一定程度上可以测量Template:Math的整数环中算术基本定理(唯一分解)被破坏程度: 只有当理想类群的秩为1时，代数数域Template:Math的整数环才是唯一分解整环。理想类群的秩又被称作为代数数域的“类数”。

形式定義

設 $𝒪$ 為戴德金整環。此時 $𝒪$ 中的非零理想對乘法構成一個交換么半群。

今將定義其上的等價關係：設 $𝔞,𝔟$ 為二非零理想，定義

$𝔞\sim 𝔟\iff \mathrm{\exists }s,t\in {𝒪}^{\times }(s)𝔞=(t)𝔟$

理想么半群對此關係的商構成一個交換群 $\mathrm{C}\mathrm{l}(𝒪)$，稱為 $𝒪$ 的理想類群。

另一套進路是考慮 $𝔒$ 的非零分式理想構成之交換群，再考慮它對主分式理想 $\{(q):q\in K^{\times }\}$ 之商，由此得到的對象自然同構於理想類群。

性質

• 理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環。
• 設 $K$ 為數域，${𝒪}_K$ 為其中的代數整數環，因而是戴德金整環。此時可證明 ${𝒪}_K$ 是有限群。其元素個數記為 $h_K$，稱作類數。

例子

考慮二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$。考慮理想

$J=(2,1+\sqrt{-5})$。

易證此非主理想，因此理想類群非零。事實上，其理想類群是二階循環群。