雙極圓柱坐標系

雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 $\sigma$-等值曲線，藍色圓圈則是 $\tau$-等值曲線。

雙極圓柱坐標系（Template:Lang-en）是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ，則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 $F_1$ 與 $F_2$ ，其直角坐標 $(x,y)$ 分別設定為 $(-a,0)$ 與 $(a,0)$ 。延伸至三維空間，這兩個焦點分別變成兩條直線，$L_1$ 與 $L_2$ ，稱為焦線。

基本定義

雙極圓柱坐標 $(\sigma ,\tau ,z)$ 通常定義為

$x=a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }$ 、

$y=a\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }$ 、

$z=z$ ；

其中，點 $P$ 的 $\sigma$ 坐標等於 $\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2$ 的弧度，$\tau$ 坐標等於 $d_1=F_{1}P$ 與 $d_2=F_{2}P$ 的比例的自然對數

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}$。

注意到焦線 $F_1$ 與 $F_2$ 的坐標分別為 $x=-a$ 與 $x=a$ 。

坐標曲面

雙極坐標的幾何詮釋。 $\overline{F_{1}P}$ 與 $\overline{F_{2}P}$ 的夾角 $\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2$ 的弧度是 $\sigma$ 。$F_{1}P$ 與 $F_{2}P$ 的比例的自然對數是 $\tau$ 。$\sigma$ 與 $\tau$ 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。

不同 $\sigma$ 的坐標曲面是一組不同圓心線，而相交於兩個焦線 $L_1$ 與 $L_2$ 的圓柱面：

$x^2+(y-a\cot \sigma {)}^2=\frac{a^2}{{\sin }^2\sigma }$ 。

它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 $\sigma$ 的圓柱面的圓心線都在 $y>0$ 半空間；而負值 $\sigma$ 的圓柱面的圓心線則在 $y<0$ 半空間。當絕對值 $\left|\sigma \right|$ 增加時，圓半徑會減小，圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時，$\left|\sigma \right|$ 達到最大值 $\pi /2$ 。

不同 $\tau$ 的坐標曲面是一組圍著焦線，互不相交，不同半徑的圓柱面。半徑為

$y^2+{(x-a\coth \tau )}^2=\frac{a^2}{{\sinh }^2\tau }$ 。

它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 $\tau$ 的圓柱面在 $x>0$ 半空間；而負值 $\tau$ 的圓柱面在 $x<0$ 半空間。 $\tau =0$ 平面則與 yz-平面同平面。當 $\tau$ 值增加時，圓柱面的半徑會減少，圓心線會靠近焦點。

逆變換

雙極圓柱坐標 $(\sigma ,\tau ,z)$ 可以用直角坐標 $(x,y,z)$ 來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是

$d_1^2=(x+a{)}^2+y^2$ 、

$d_2^2=(x-a{)}^2+y^2$ 。

$\tau$ 是 $d_1$ 與 $d_2$ 的比例的自然對數：

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}$ 。

$\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2$ 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 $\overline{F_{1}P}$ 與 $\overline{F_{2}P}$ 的夾角。這夾角的弧度是 $\sigma$ 。用餘弦定理來計算：

$\cos \sigma =\frac{d_1^2+d_2^2-4a^2}{2d_1{d}_2}$ 。

z-坐標的公式不變：

$z=z$ 。

標度因子

雙極圓柱坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 的標度因子相等；而 $z$ 的標度因子是 1 ：

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\frac{a}{\cosh \tau -\cos \sigma }$ 、

$h_z=1$ 。

所以，無窮小體積元素等於

$dV=\frac{a^2}{{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^2}d\sigma d\tau dz$ 。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2}{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^2(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\tau }^2})+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}$ 。

其它微分算子，例如 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ 與 $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ ，都可以用雙極圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

應用

雙極圓柱坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？應用雙極圓柱坐標，我們可以精緻地分析這例題。

參考文獻

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