列維-奇維塔符號

Template:Multiple issues Template:NoteTA 列維-奇維塔符號（Levi-Civita symbol），又稱列維-奇維塔ε，為一在線性代數，張量分析和微分幾何等數學範疇中常見到的符號。對於正整數 Template:Math ，它以Template:Math 所形成排列的奇偶性來定義。它以義大利數學家和物理學家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名稱包括排列符號、反對稱符號與交替符號。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。

列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 Template:Math 或 Template:Math ，較不常見的也有以拉丁文小寫 Template:Math 記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列：

${\epsilon }_{a_1{a}_2\cdots a_n}$

其中每個下標指標 Template:Math 取值介乎 Template:Math 到 Template:Math 。在 Template:Math 中，共有 Template:Math 個指標排列，可以排成為一個 Template:Math 維陣列。

當任何兩個指標相等，則定義符號值等於 Template:Math ：

${\epsilon }_{\cdots a_p\cdots a_p\cdots }=0$；

當全部指標都不相等時，我們定義：

${\epsilon }_{a_1{a}_2\cdots a_n}=(-1{)}^p{\epsilon }_{12\cdots n}$，

其中 Template:Math 稱為「排列的奇偶性」 (parity of permutation)，是要將 Template:Math 變換成自然次序 Template:Math ，所需的對換次數。而因子 Template:Math 被稱為「排列正負號」 (signum of permutation)。這裡， Template:Math 的值必須有定義，否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇 Template:Math 作為自然次序的值：

${\epsilon }_{12\cdots n}=+1$。

在本文中，也將使用這個定義。

從定義可知，當任何兩個指標互換，則須加上負號：

${\epsilon }_{\cdots a_p\cdots a_q\cdots }=-{\epsilon }_{\cdots a_q\cdots a_p\cdots }$。

這稱為「完全反對稱性」。

“Template:Math 維列維-奇維塔符號”一詞是指符號上的指標數 Template:Math ，和所討論的向量空間維度相符，其中可指歐幾里得空間或非歐幾里得空間，例如 Template:Math 的 Template:Math 或閔可夫斯基空間的 Template:Math 。

列維-奇維塔符號的值，與參考座標系無關。此外，這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量；然而，它可以被理解為張量的密度。

列維-奇維塔符號可用來表示正方矩陣的行列式，及三維歐幾里德空間中的兩個向量的叉積。

定義

列維-奇維塔符號最常用於三維和四維，並在一定程度上用於二維，因此在定義一般情況之前，先給出這些符號值。

二維

在二維中，列維-奇維塔符號定義如下：

${\epsilon }_{ij}=\{\begin{array}{c}+1\\ -1\\ 0\end{array}$	當 $(i,j)=(1,2)$
	當 $(i,j)=(2,1)$
	當 $i=j$

這些值可以排列成 Template:Math 反對稱矩陣：

$\left(\begin{array}{cc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

相對於其他維度，二維的列維-奇維塔符號並不常見，雖然在某些專門的主題，如超對稱和扭量理論中，談及2-旋量時會用到。

三維

對於 Template:Math 的指標 Template:Math ，數字 Template:Math 在 Template:Color box 循環排列的次序，對應 Template:Math。在 Template:Color box 反循環排列的次序，則對應 Template:Math。其餘情況下， Template:Math。

三維以上的列維-奇維塔符號更常用。在三維中，列維-奇維塔符號定義如下：

${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{c}+1\\ -1\\ 0\end{array}$	當 $(i,j,k)=(1,2,3)$ 、 $(2,3,1)$ 或 $(3,1,2)$
	當 $(i,j,k)=(3,2,1)$ 、 $(2,1,3)$ 或 $(1,3,2)$
	當 $i=j$ 、 $j=k$ 或 $i=k$

也就是說，如果 Template:Math 是 Template:Math 的偶排列，則符號值為 Template:Math 。如果是奇排列，則符號值為 Template:Math 。如果任何兩個索引重複，則符號值為 Template:Math 。

僅在三維中， Template:Math 的循環排列都是偶排列，反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中，僅觀察 Template:Math 是 Template:Math 的循環排列，還是反循環排列，就足以分辨其奇偶性。

類似於二維矩陣，三維列維-奇維塔符號的值可以排成 Template:Math 陣列：

其中 Template:Math 是深度 (Template:Color: Template:Math; Template:Color: Template:Math; Template:Color: Template:Math) ， Template:Math 是橫行，Template:Math 是直列。

以下是一些例子：

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{132}=-{\epsilon }_{123}& =-1\\ {\epsilon }_{312}=-{\epsilon }_{213}& =-(-{\epsilon }_{123})=1\\ {\epsilon }_{231}=-{\epsilon }_{132}& =-(-{\epsilon }_{123})=1\\ {\epsilon }_{232}=-{\epsilon }_{232}& =0\end{array}$

四維

在四維中，列維-奇維塔符號定義如下：

${\epsilon }_{ijkl}=\{\begin{array}{c}+1\\ -1\\ 0\end{array}$	當 $(i,j,k,l)=(1,2,3,4)$ 的偶排列
	當 $(i,j,k,l)=(1,2,3,4)$ 的奇排列
	其餘情況，即任意兩個指標相等

這些值可以排成 Template:Math 陣列，然而四維以上較難描繪出示意圖。

以下是一些例子：

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{1432}=-{\epsilon }_{1234}& =-1\\ {\epsilon }_{2134}=-{\epsilon }_{1234}& =-1\\ {\epsilon }_{4321}=-{\epsilon }_{1324}& =-(-{\epsilon }_{1234})=1\\ {\epsilon }_{3243}=-{\epsilon }_{3243}& =0\end{array}$

推廣到高維

更一般地推廣到 Template:Math 維中，則列維-奇維塔符號的定義為：

${\epsilon }_{a_1{a}_2{a}_3\dots a_n}=\{\begin{array}{c}+1\\ -1\\ 0\end{array}$	當 $(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)$ 是 $(1,2,3,\dots ,n)$ 的偶排列
	當 $(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)$ 是 $(1,2,3,\dots ,n)$ 的奇排列
	其餘情況，即任意兩個指標相等

又可使用求積符號 Template:Math 表達為：

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{a_1{a}_2{a}_3\dots a_n}& =\prod _{1\le i<j\le n}\mathrm{sgn}(a_j-a_i)\\ & =\mathrm{sgn}(a_2-a_1)\mathrm{sgn}(a_3-a_1)\dots \mathrm{sgn}(a_n-a_1)\mathrm{sgn}(a_3-a_2)\mathrm{sgn}(a_4-a_2)\dots \mathrm{sgn}(a_n-a_2)\dots \mathrm{sgn}(a_n-a_{n-1})\end{array}$

其中的 Template:Math 是符號函數，根據 Template:Math 的正負給出 Template:Math 、 Template:Math 或 Template:Math。該公式對對於任何 Template:Math 及任何指標排列都有效（當 Template:Math 或 Template:Math 時，定義為空積 Template:Math）。

然而，計算以上公式的時間複雜度為 Template:Math ，而以不交循環排列的性質計算，則只需 Template:Math 。

兩個列維-奇維塔符號的積，可以用一個以廣義克羅內克函數表示的行列式求得：

${\epsilon }_{ijk\dots }{\epsilon }_{mnl\dots }=\left|\begin{array}{cccc}{\delta }_{im}& {\delta }_{in}& {\delta }_{il}& \dots \\ {\delta }_{jm}& {\delta }_{jn}& {\delta }_{jl}& \dots \\ {\delta }_{km}& {\delta }_{kn}& {\delta }_{kl}& \dots \\ ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right|$

應用和範例

行列式

在线性代数中， Template:Math 的方陣 Template:Math ：

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$，

其行列式可以寫為：

$\det (A)=\sum _{i,j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_{1i}{a}_{2j}{a}_{3k}$，

類似地， Template:Math 矩陣 Template:Math 的行列式可以寫為：

$\det (A)=\sum _{a_1,a_2,\cdots ,a_n=1}^n{\epsilon }_{a_1{a}_2\cdots a_n}{a}_{1a_1}{a}_{2a_2}\cdots a_{n{a}_n},$

向量的叉積

對於向量 Template:Math 與 Template:Math ，它們的叉積：

$𝒂\times 𝒃=\left|\begin{array}{ccc}{𝒆}_1& {𝒆}_2& {𝒆}_3\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\sum _{1\le i,j,k\le 3}{\epsilon }_{ijk}{a}_i{b}_j{𝒆}_k$

對於向量 Template:Math 、 Template:Math 與 Template:Math ，它們的三重積：

$𝒂\cdot (𝒃\times 𝒄)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|=\sum _{1\le i,j,k\le 3}{\epsilon }_{ijk}{a}_i{b}_j{c}_k$

性質

由列維-奇維塔符號給出（共變等級為Template:Mvar）張量在正交基礎中的組成部份，有時稱為“置換張量”。

根據普通的張量變換規則，列維-奇維塔符號在純旋轉下不變，與正交變換相關的所有座標系統（在定義上）相同。然而，列維-奇維塔符號是一種贗張量，因為在雅可比行列式−1的正交變換之下，例如，一個奇數維度的鏡射，如果它是一個張量，它“應該”有一個負號。由於它根本沒有改變，所以列維-奇維塔符號根據定義，是一個贗張量。

由於列維-奇維塔符號是贗張量，因此取叉積的結果是贗張量，而不是向量。

在一般座標變換下，置換張量的分量乘以变换矩阵的雅可比。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中，其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些，不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的，則根據座標的方向是否相同，因子將為±1。

在無指標的張量符號中，列維-奇維塔符號被霍奇对偶的概念所取代。

在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中，列維-奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標，而不改變意義，這也許是方便的如下寫成：

${\epsilon }^{ij\dots k}={\epsilon }_{ij\dots k}.$

在這些例子中，上標應該被視為與下標相同。

使用愛因斯坦標記法可消除求和符號，其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如，

${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }^{imn}$.

以下的例子使用愛因斯坦標記法。

二維

在二維上，當所有$i$，$j$，$m$，$n$各取值1和2時，

三維

指標和符號值

在三維中，當所有$i$，$j$，$k$，$m$，$n$各取值1,2和3時：

乘積

列維-奇維塔符號與克罗内克函数有關。 在三維中，關係由以下等式給出（垂直線表示行列式）：

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{lmn}& =\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{il}& {\delta }_{im}& {\delta }_{in}\\ {\delta }_{jl}& {\delta }_{jm}& {\delta }_{jn}\\ {\delta }_{kl}& {\delta }_{km}& {\delta }_{kn}\end{array}\right|\\ & ={\delta }_{il}({\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km})-{\delta }_{im}({\delta }_{jl}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{kl})+{\delta }_{in}({\delta }_{jl}{\delta }_{km}-{\delta }_{jm}{\delta }_{kl}).\end{array}$

這個結果的一個特例是(Template:EquationNote):

$\sum _{i=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$

有時候其被稱為“contracted epsilon identity”。

在愛因斯坦標記法中，$i$指標的重複表示對於$i$的求和。由此，上述結論可表記為：

${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$

進一步可以知道：

$\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{ijn}=2{\delta }_{kn}$

Template:Mvar維

指標和符號值

在Template:Mvar維中，當所有$i_1,\dots ,i_n,j_1,\dots ,j_n$take values$1,2,\dots ,n$： Template:NumBlk Template:NumBlk Template:NumBlk

驚嘆號($!$)代表階乘，而${\delta }_{\beta \dots }^{\alpha \dots }$是廣義克罗内克函数，對於任意Template:Mvar有屬性：

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^n{\epsilon }_{ijk\dots }{\epsilon }_{ijk\dots }=n!$

從以下事實可得出：

• 每個排列是偶排列或奇排列，
• $(+1{)}^2=(-1{)}^2=1$，與
• 任何Template:Mvar-元素集合的排列數正好是$n!$。

乘積

一般來說，對於Template:Mvar維，兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成：

${\epsilon }_{i_1{i}_2\dots i_n}{\epsilon }_{j_1{j}_2\dots j_n}=\left|\begin{array}{cccc}{\delta }_{i_1{j}_1}& {\delta }_{i_1{j}_2}& \dots & {\delta }_{i_1{j}_n}\\ {\delta }_{i_2{j}_1}& {\delta }_{i_2{j}_2}& \dots & {\delta }_{i_2{j}_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\delta }_{i_n{j}_1}& {\delta }_{i_n{j}_2}& \dots & {\delta }_{i_n{j}_n}\end{array}\right|$