廣義速度

拉格朗日力學時常涉及廣義速度。假設一個物理系統的廣義坐標是$(q_1,q_2,q_3,\dots ,q_N)$，表示廣義速度為$({\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,{\dot{q}}_3,\dots ,{\dot{q}}_N)$。廣義速度定義為廣義坐標對於時間$t$的導數：

${\dot{q}}_i=\frac{d{q}_i}{dt}$。

與動能的關係

在三維空間裏，一個質量為$m$、速度為$𝐯$的粒子的動能是

$T=\frac{1}{2}m{v}^2$。

速度是位置$𝐫$對於時間$t$的導數。應用偏微分-{zh-tw:連鎖律; zh-hans:链式法则}-，可以得到

$𝐯=\frac{d𝐫}{dt}=\sum _i\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial 𝐫}{\partial t}$；

其中，$q_i$是第$i$個廣義坐標，${\dot{q}}_i$是對應的廣義速度。

所以，

$T=\frac{1}{2}m{(\sum _i\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial 𝐫}{\partial t})}^2$。

將方程式展開，動能可以分為三個項目表示：

$T=T_0+T_1+T_2$；

其中，

$T_0=\frac{1}{2}m{\left(\frac{\partial 𝐫}{\partial t}\right)}^2$，

$T_1=\sum _{i}m\frac{\partial 𝐫}{\partial t}\cdot \frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}{\dot{q}}_i$，

$T_2=\sum _{i,j}\frac{1}{2}m\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial 𝐫}{\partial q_j}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j,$。

$T_0$、$T_1$、$T_2$分別為廣義速度${\dot{q}}_i$的0次、1次、2次齊次函數。如果這系統是定常系統，位置不顯性地含時間，$\frac{\partial 𝐫}{\partial t}=0$，則只有$T_2$不等於零。所以，$T=T_2$，動能是廣義速度的2次齊次函數。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 虛功
• 廣義力