辛群

Template:NoteTA Template:李群 Template:Groups 在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中，我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

Sp(2n, F)

域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群，記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。

當n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，當n>1時，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常將域F取為實數域$ℝ$、複數域$ℂ$或非阿基米德局部域，如p進數域${\mathbb{Q}}_p$。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於$n(2n+1)$的連通代數群。$\mathrm{S}\mathrm{p}(2n,ℂ)$是單連通的，而$\mathrm{S}\mathrm{p}(2n,ℝ)$的基本群則同構於$\mathbb{Z}$。

$\mathrm{S}\mathrm{p}(2n,F)$的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣$A$：

$\mathrm{\Omega }A+A^T\mathrm{\Omega }=0$

其中$A^T$表示$A$的轉置矩陣，而$\mathrm{\Omega }$是下述反對稱矩陣

$\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right)$

Sp(n)

緊辛群 $\mathrm{S}\mathrm{p}(n)$ 定義為 ${\mathrm{H}}^n$（$ℍ$表四元數）上保持標準埃爾米特形式

$⟨x,y⟩={\overline{x}}_1{y}_1+\cdots +{\overline{x}}_n{y}_n$

之可逆線性變換。換言之，$\mathrm{S}\mathrm{p}(n)$ 即四元數上的酉群$\mathrm{U}(n,ℍ)$。有時此群也被稱為超酉群。$\mathrm{S}\mathrm{p}(1)$ 即單位四元數構成之群，拓撲上同胚於三維球 ${𝕊}^3$。

$\mathrm{S}\mathrm{p}(n)$ 並不同構於之前定義的 $\mathrm{S}\mathrm{p}(2n,ℝ)$。下節將解釋其間的聯繫。

$\mathrm{S}\mathrm{p}(n)$ 是 $n(2n+1)$ 維之緊緻、連通、單連通實李群，並滿足

$Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,ℂ)$

其李代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成

$A+A^{†}=0$

其中 $A^{†}$ 是 $A$ 的共軛轉置（在此取四元數之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。

緊辛群 $\mathrm{S}\mathrm{p}(n)$ 有时称为酉辛群，记为 $\mathrm{U}\mathrm{S}\mathrm{p}(2n)$

辛群之間的關係

以上定義之$\mathrm{S}\mathrm{p}(2n,ℝ)$與$\mathrm{S}\mathrm{p}(n)$之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作$C_n$。此李代數也就是複李群$\mathrm{S}\mathrm{p}(2n,ℂ)$之李代數，記作$\mathrm{s}\mathrm{p}(2n,ℂ)$。它有兩個不同的實形式：

1. 緊緻形式$\mathrm{s}\mathrm{p}(n)$，即$\mathrm{S}\mathrm{p}(n)$之李代數。
2. 正規形式$\mathrm{s}\mathrm{p}(2n,ℝ)$，即$\mathrm{S}\mathrm{p}(2n,ℝ)$。

辛群之間的關係

	矩陣	李群	dim/R	dim/C	緊緻	π1
Sp(2n, R)	R	實	n(2n + 1)	–	否	Z
Sp(2n, C)	C	複	2n(2n + 1)	n(2n + 1)	否	1
Sp(n)	H	實	n(2n + 1)	–	是	1

參見

• 正交群
• 酉群
• 射影酉群
• 辛流形、辛矩阵、辛向量空间、扭對稱符號
• 哈密顿力学