链式法则

Template:Unreferenced Template:NoteTA Template:微积分学 -{zh-tw:連鎖律，中國大陸亦稱鏈式法則;zh-cn:链式法则，台湾地区亦称连锁律}-（Template:Lang-en），用于求合成函数的導數。

正式表述

兩函數 $f$ 和 $g$ 的定義域 ($D_f$ 和 $D_g$) 、值域 ($I_f$ 和 $I_g$) 都包含於實數系 $ℝ$ ，若可以定義合成函數 $g\circ f$ (也就是 $I_f\cap D_g\ne \varnothing$ )，且 $f$ 於 $a\in D_f$ 可微分，且 $g$ 於 $f(a)\in I_f\cap D_g$ 可微分，則

${(g\circ f)}^{\prime }(a)=g^{\prime }[f(a)]\cdot f^{\prime }(a)$

也可以寫成

$\frac{dg[f(x)]}{dx}{|}_{x=a}=\frac{dg(y)}{dy}{|}_{y=f(a)}\cdot \frac{df}{dx}{|}_{x=a}$

例子

求函数 $f(x)=(x^2+1{)}^3$的导数。

设 $g(x)=x^2+1$

$h(g)=g^3\to h(g(x))=g(x{)}^3.$

$f(x)=h(g(x))$

$f^{\prime }(x)=h^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=3(g(x){)}^2(2x)=3(x^2+1{)}^2(2x)=6x(x^2+1{)}^2.$

求函数 $\arctan \sin x$的导数。

$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx}\arctan f(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{1+f^2(x)}$

$\frac{d}{dx}\arctan \sin x=\frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}$

证明

嚴謹的證明需要以下連續函數的極限定理：

$f$ 和 $g$ 都是实函数，若可以定義合成函數 $g\circ f$ 且

• $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$
• $\underset{y\to L}{\lim }g(y)=g(L)$

則有

$\underset{x\to a}{\lim }g[f(x)]=g(L)$

只要展開極限的ε-δ定義，並考慮 $f(x)$ 等於或不等於 $L$ 的兩種狀況，這個極限定理就可以得証。

為了證明連鎖律，定義一個函數 $G$ ，其定義域 $D_G=D_g$ ， 而對應規則為

$G(y)=\{\begin{array}{cc}\frac{g(y)-g[f(a)]}{y-f(a)}& y\ne f(a)\\ \\ g^{\prime }[f(a)]& y=f(a)\end{array}$

和一個函數 $F$ ，其定義域 $D_F=D_f$ ， 而對應規則為

$F(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}& x\ne a\\ \\ f^{\prime }(a)& x=a\end{array}$

這樣，考慮到 $g\circ f$ 於 $a$ 的導數是以下函數（定義域為$D_{g\circ f}$）的極限

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{g(y)-g[f(a)]}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }G[f(x)]\cdot F(x)$

因為可微則必連續（根據乘法的極限性質），所以 $f$ 於 $a$ 連續、 $G$ 於 $f(a)$ 連續，故根據上面的極限定理有

$\underset{x\to a}{\lim }G[f(x)]=g^{\prime }[f(a)]$

而且針對一開始可微的前提有

$\underset{x\to a}{\lim }F(x)=f^{\prime }(a)$

再根據乘法的極限性質有

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{g(y)-g[f(a)]}{x-a}=g^{\prime }[f(a)]\cdot f^{\prime }(a)$

即為所求。 $◻$

多元复合函数求导法则

考虑函数z = f(x, y)，其中x = g(t)，y = h(t)，g(t)和h(t)是可微函数，那么：

$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}.$

假设z = f(u, v)的每一个自变量都是二元函数，也就是说，u = h(x, y)，v = g(x, y)，且这些函数都是可微的。那么，z的偏导数为：

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.$

如果我们考虑

$\overrightarrow{r}=(u,v)$

为一个向量函数，我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度与$\overrightarrow{r}$的偏导数的数量积：

$\frac{\partial f}{\partial x}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f\cdot \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial x}.$

更一般地，对于从向量到向量的函数，求导法则为：

$\frac{\partial (z_1,\dots ,z_m)}{\partial (x_1,\dots ,x_p)}=\frac{\partial (z_1,\dots ,z_m)}{\partial (y_1,\dots ,y_n)}\frac{\partial (y_1,\dots ,y_n)}{\partial (x_1,\dots ,x_p)}.$

高阶导数

复合函数的最初几个高阶导数为：

$\frac{d(f\circ g)}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$

$\frac{d^2(f\circ g)}{d{x}^2}=\frac{d^{2}f}{d{g}^2}{\left(\frac{dg}{dx}\right)}^2+\frac{df}{dg}\frac{d^{2}g}{d{x}^2}$

$\frac{d^3(f\circ g)}{d{x}^3}=\frac{d^{3}f}{d{g}^3}{\left(\frac{dg}{dx}\right)}^3+3\frac{d^{2}f}{d{g}^2}\frac{dg}{dx}\frac{d^{2}g}{d{x}^2}+\frac{df}{dg}\frac{d^{3}g}{d{x}^3}$

$\frac{d^4(f\circ g)}{d{x}^4}=\frac{d^{4}f}{d{g}^4}{\left(\frac{dg}{dx}\right)}^4+6\frac{d^{3}f}{d{g}^3}{\left(\frac{dg}{dx}\right)}^2\frac{d^{2}g}{d{x}^2}+\frac{d^{2}f}{d{g}^2}\{4\frac{dg}{dx}\frac{d^{3}g}{d{x}^3}+3{\left(\frac{d^{2}g}{d{x}^2}\right)}^2\}+\frac{df}{dg}\frac{d^{4}g}{d{x}^4}.$

参见

• 乘积法则
• 除法定则