函數域

在代數幾何中，一個整概形 $X$ 的函數域 $K_X$ 由 $X$ 上的有理函數組成；對於一般的概形，相應的對象是有理函數層。雙有理幾何研究的便是由 $K_X$ 所決定的幾何性質。

整概形的情形

定義

若 $X$ 是仿射整概形，$U\subset X$ 為開集，則定義 $K_X(U)$ 為 ${𝒪}_X(U)$ 的分式域。此時 $K_X$ 是 ${𝒪}_X(X)$ 的分式域的常數層。

若 $X$ 是整概形，而非仿射概形，則任何非空仿射開集都稠密。對任何開集 $U\subset X$，可以一致地定義 $K_X(U):=K_V(U\cap V)$，其中 $V$ 是任一非空仿射開集；這仍然是對應到一個域的常數層，該域稱之為 $X$ 的函數域。另一種等價定義是 ${𝒪}_X$ 在一般點的莖。

函數域與維度

設 $k$ 為域，$X$ 為不可約 $k$-代數簇，則 $K_X$ 是 $k$ 的域擴張，有時也寫作 $k(X)$。此擴張的超越次數等於 $\dim X$，此命題可以化約到仿射簇的情形，再以諾特正規化引理證明。

例子

• $\mathbb{Z}$ 的函數域是 $\mathbb{Q}$。

以下設 $k$ 為域。

• 單點 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(k)$ 的函數域是 $k$ 本身。
• 仿射直線 ${𝔸}_k^1$ 與射影直線 ${\mathbb{P}}_k^1$ 的函數域都是 $k(t)$，其中 $t$ 是 $k$ 上的超越元。
• 考慮平面曲線 $y^2=x^5+1$，其函數域是 $k(x,y)$，其中 $x,y$ 是 $k$ 上滿足 $y^2=x^5+1$ 的超越元；一般代數曲線的函數域可以依此類推。當 $k$ 為有限域時，$k$-代數曲線的函數域與數域之間有深刻的類比。

一般概形的情形

當 $X$ 不是整概形時，${𝒪}_X$ 在開集上的截面可能有零因子，此時分式域並不存在（詳見 Kleiman 的文章）。正解如下：

對任一開集 $U\subset X$，令 $S_U$ 為 ${𝒪}_X(U)$ 中的非零因子集，這是一個積性集。命 $K_X^p(U):=S_U^{-1}{𝒪}_X(U)$（即 ${𝒪}_X(U)$ 的全分式環）。$K_X^p$ 構成 $X$ 上的預層。令 $K_X$ 為其層化，此即 $X$ 的有理函數層，它是 ${𝒪}_X$-代數構成的層。

若 $X$ 局部上可以分解成有限個整概形 $X=\bigcup X_i$（這對局部諾特概形皆成立），則對任何開集 $U$ 有

$K_X(U)=\underset{X_i\cap U\ne \mathrm{\varnothing }}{⨁}{K}_{X_i}$

此時 $K_X$ 是 $X$ 上的擬凝聚層。

與亞純函數域的關係

在複代數幾何中，基本的對象是不可約複解析簇，其上能局部地開展複分析，由此可以定義複解析簇上的亞純函數；亞純函數域是該簇上的亞純函數之集合。在不可約 $ℂ$-代數簇上，有理函數必為亞純函數，反之則不然（考慮 ${𝔸}_{ℂ}^1$）；若加上緊緻條件，則可證明此時亞純函數域確等於有理函數域。

文獻

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• Kleiman, S., "Misconceptions about K_X", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206