并矢积

在数学特别是双线性代数中，有同样维度的两个向量 $𝐮$ 和 $𝐯$ 的并矢积

$\mathbb{P}=𝐮\otimes 𝐯$

是这些向量的张量积，而结果是阶为 2 的张量。

分量

关于选定的基 $\{{𝐞}_i\}$，并矢积 $\mathbb{P}=𝐮\otimes 𝐯$ 的分量 $P_{ij}$ 可以定义为

$P_{ij}=u_i{v}_j$ ,

这里的

$𝐮=\sum _i{u}_i{𝐞}_i$ ,

$𝐯=\sum _j{v}_j{𝐞}_j$ ,

而

$\mathbb{P}=\sum _{i,j}{P}_{ij}{𝐞}_i\otimes {𝐞}_j$ .

矩阵表示

并矢积可以简单的表示为通过列向量 $𝐮$ 乘以行向量 $𝐯$ 的方块矩阵。例如，

$𝐮\otimes 𝐯\to \left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{v}_1& v_2& v_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{u}_1{v}_1& u_1{v}_2& u_1{v}_3\\ u_2{v}_1& u_2{v}_2& u_2{v}_3\\ u_3{v}_1& u_3{v}_2& u_3{v}_3\end{array}\right],$

这里的箭头指示这只是并矢积关于特定基的特定表示。在这种表示中，并矢积是克罗内克积的特殊情况。

参见

• 并矢张量
• 张量积
• 克罗内克积
• 外积