賦值

Template:Not Template:For 在代数中，赋值是一个度量域元素的阶（多少）或元素重复度的函数。推广到交换代数，就是对复分析中极点，零点重复度度量，推广到代数数论中的代数整数整性的度量，在代数几何中也有类似概念，一个域与它的赋值被称为赋值域。

定義

一個域$K$上取值在有序交換群Γ的賦值是從$K^{*}$到Γ的映射$v$，滿足下述性質：

• $v(xy)=v(x)+v(y)$（即：$v$是群同態）
• $x+y\ne 0\Rightarrow v(x+y)\ge \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(v(x),v(y))$

Γ稱作$v$的值群。

兩個賦值$v_i:K^{*}\to {\mathrm{\Gamma }}_i(i=1,2)$被稱作等價的，若且唯若存在有序交換群的同構$\varphi :{\mathrm{\Gamma }}_1\to {\mathrm{\Gamma }}_2$使得$v_2=\varphi \circ v_1$。

為了操作上的便利，我們通常會將$v$的值域擴至$\mathrm{\Gamma }\cup \{\mathrm{\infty }\}$，並設$v(0)=\mathrm{\infty }$。

p進賦值

Template:Main 設p為正質數。對於所有非零的有理數，存在一且唯一一個整數$n$使得 $x=\frac{u}{v}{p}^n$ ，其中$u,v$均非$p$的倍數。p進賦值就是函數 $v_p:x\to n$。它給出一個p進絕對值 $|\cdot {|}_p:\mathbb{Q}\to ℝ$，定義為

$|x{|}_p=\{\begin{array}{c}0\\ p^{-v_p(x)}\end{array}$	若$x=0$
	若$x\ne 0$

p進賦值是個非阿基米得賦值。其值群是 $\mathbb{Z}$。

例子

• 令$X$為緊黎曼曲面，$ℂ(X)$為其上的亞純函數域。固定一點$x\in X$。定義$v_x(f)$為$f$在$x$的重根數，便得到$ℂ(X)$上的賦值，其值群為$\mathbb{Z}$。對於高維情形則須考慮其因子，但此時需考慮點的拉開，狀況較複雜。扎里斯基正是為了研究代數曲面而開始研究賦值論。
• 上述構造亦可套用到定義在任意域上的代數曲線。
• 利用函數域與數域的類比，可在$\mathbb{Q}$上考慮p進賦值。根據奥斯特洛夫斯基定理，$\mathbb{Q}$上的任意賦值皆等價於某個p進賦值。

參見

• 有序交換群
• 賦值環

参考文献

• Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
• Template:Citation. A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
• Chapter VI of Template:Citation

扩展阅读

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